师：同学们好，很高兴能以这种方式跟大家一起学习数学知识。希望大家认真听讲，积极思考，顺利完成今天的教学任务。我们已经学习了直角三角形的两锐角间关系、勾股定理、正弦、余弦、正切等相关知识。今天我们进一步探究直角三角形的边角关系，这就是我们今天学习的课题——解直角三角形第一课时。
如图，在直角三角形ABC中共有6个元素，即三条边、三个角。如果给定∠C = 90°，那么其余5个元素之间有怎样的等量关系呢？
生：三边关系有勾股定理，(a^{2} + b^{2} = c^{2})。直角三角形的两个锐角互余，∠A + ∠B = 90°。边角之间的关系，也就是刚刚所学的锐角三角函数，(\sin A =\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}) ，(\cos A =\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}) ，(\tan A =\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}) 。
师：可以看出这些元素之间存在着密切的联系。接下来我们一起探究，只告诉我们一部分元素能求出其他元素吗？
探究一：在直角三角形ABC中，∠C = 90°。根据∠A = 75°，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
生：由直角三角形的两个锐角互余得∠B = 90° - ∠A = 90° - 75° = 15°。边长元素无法求出。
师：探究二：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，根据一条边长是2.4。你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
生：其他元素均无法求出。
师：除直角外，只告诉我们一个条件，不论是边还是角，无法全部求出其他元素。接下来我们继续探究，如果给定两个元素，能不能求出其他未知元素，这里的两个元素可以细分为两边、一边一角、两角这三种情况，我们逐个分析。
探究三：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，根据AC = 2.4，斜边AB = 6。你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
生：直角三角形中已知两条边，由勾股定理可求出第三条边BC的长。因为(AB^{2} = AC^{2} + BC^{2})，所以(BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2.4^{2}}≈5.5)。已知∠A的斜边和邻边，可用∠A的余弦函数求得∠A的度数。(\cos A =\frac{AC}{AB})，所以(\cos A =\frac{2.4}{6}= 0.4)，所以∠A ≈ 66°。由直角三角形的两锐角互余，轻松求得∠B的度数，∠A + ∠B = 90°，所以∠B = 90° - ∠A = 24°。
师：我们想一想，为什么不用(\sin A =\frac{BC}{AB})求∠A？
生：BC是求得的近似值，如果再进行计算，误差会增大。
师：由此我们可以得出在直角三角形中，除直角外已知两边可以求其余三个未知元素。
探究四：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，根据∠A = 75°，斜边AB = 6。你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
生：由直角三角形的两个锐角互余，轻松求得∠B的度数。∠A + ∠B = 90°，所以∠B = 90° - ∠A = 15°。由∠A的正弦、余弦函数可分别求得BC、AC的长。(\sin A =\frac{BC}{AB})，所以(BC = AB×\sin A = 6×\sin 75°)；(\cos A =\frac{AC}{AB})，所以(AC = AB×\cos A = 6×\cos 75°)。
师：由此我们可以得出，在直角三角形中，除直角外，已知一边一角可以求出其余三个未知元素。
探究五：在直角三角形ABC中，∠C = 90°。根据∠A = 75°，∠B = 15°，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
生：边长元素无法求出。
师：我们总结一下，在直角三角形中，除直角外有五个元素，即三条边、两个锐角，只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个未知元素。由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形。
接下来我们尝试着解决一道生活实际问题。同学们非常熟悉的两个铁球同时落地实验就是在意大利比萨斜塔进行的。1972年比萨地区发生地震，这座高54.5米的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米。根据上述信息，你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
我们把这个实际问题转化为数学问题，可以用刚所学的内容来解决。塔身中心线指的是AB，垂直中心线指的是AC，描述比萨斜塔的倾斜程度指的是求∠A的度数。数学问题：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C。在直角三角形ABC中，∠C = 90°，BC = 5.2米，AB = 54.5米，求∠A的度数。
生：在直角三角形ABC中，已知直角边BC = 5.2，斜边AB = 54.5。根据(\sin A =\frac{BC}{AB}=\frac{5.2}{54.5}≈0.0954)，利用计算器可得∠A ≈ 5°28′。
师：接下来我们学习今天的例题。例一，如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，(AC = \sqrt{2})，(BC = \sqrt{6})。解这个直角三角形。
生：ABC中已知两条直角边，解这个三角形方法我们已经掌握。这里需要注意的是，已知的这两条直角边长(\sqrt{6})是(\sqrt{2})的(\sqrt{3})倍，也就是说这个直角三角形三边的比是(1:\sqrt{3}:2)，是个有特殊角的直角三角形。由(\tan A =\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3})，可得∠A = 60°。根据直角三角形的两个锐角互余求得∠B = 90° - ∠A = 30°。由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得斜边(AB = 2×AC = 2\sqrt{2})。