师：各位同学，大家好！今天我们学习的内容是解直角三角形及其应用。首先，明确本课时的知识目标：
- 知道方向角、坡度的概念。
- 用解直角三角形的知识解决与方向角有关的实际问题。
- 用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，并将实际问题抽象为数学问题。
工欲善其事，必先利其器。为更好地掌握本课时知识，给大家准备了三个知识储备。
知识储备一：解直角三角形。什么是解直角三角形呢？在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，就叫做解直角三角形。那么，什么样的直角三角形可以解呢？除直角外，再知道两个元素，其中至少有一个元素是边，这样的直角三角形就可以解。具体来说，已知两条边（可以是直角边，也可以是一条直角边和一条斜边），或者已知一边和一个锐角（可以是直角边与锐角，也可以是斜边与锐角）。
在具体解题过程中，我们有三大法宝：
- 三边之间的关系：可以用勾股定理(a^{2}+b^{2}=c^{2})来确定。
- 两锐角之间的关系：利用直角三角形的性质(\angle A + \angle B = 90^{\circ})来确定。
- 边角之间的关系：这是重头戏，我们可以用锐角的三角函数加以解决。当已知两边长度时，可以通过锐角三角函数得出角的大小；当已知一边一角时，则选取适当的锐角三角函数求出其余各边的长度。这三大法宝联合起来，就能解决所有解直角三角形的问题。
当然，解直角三角形还应遵循的原则是：
- 有角先求角，无角先求边。
- 有斜用弦，无斜用切。
- 宁乘勿除，取原避中。
知识储备二：方向角。近年来我国综合国力大大提升，2019 年 12 月，中国第一艘国产航空母舰山东舰正式交付海军，标志着中国海军迎来国产航母时代。轮船在大海中航行时，依靠什么来描述它的航行方向呢？小学时我们就知道，利用方向角来定位。观察方向图标，地图上的方向可以通过“上北下南、左西右东”的口诀记忆，相邻方向呈(90^{\circ})夹角，对非正南、正北、正东、正西的方向则用方向角予以表示。
什么是方向角的定义呢？指北或指南方向线与目标方向线所成的小于(90^{\circ})的角叫做方向角。同学们，现在一起研读这个定义：一定是以正南或正北方向为角的起始边，也就是说，我们在表述方向角时，必须先表述南或北，再表述偏东或偏西，构成的角度要小于(90^{\circ})。基于以上两点要求，某个方向角我们可以表述为南偏东(35^{\circ})或北偏西(60^{\circ})。当偏离的角度为(45^{\circ})时，我们可以用东南、西南、东北、西北这些方向来直接表示。
通过几个简单问题来了解一下：
问题一，射线(OA)表示的方向为如图所示，射线(OA)与正北方向成(30^{\circ})夹角，所以射线(OA)表示的方向为北偏东(30^{\circ})。尽管射线(OA)与正东方向呈(60^{\circ})夹角，但射线(OA)不能表述为东偏北(60^{\circ})，同样，因为构成的角度要小于(90^{\circ})，所以也不能说射线(OA)表示的方向为南偏东(150^{\circ})。又如射线(OB)与正南方向成(45^{\circ})夹角，所以射线(OB)表示的方向为南偏西(45^{\circ})或西南方向。
知识储备三：坡角、坡度。可以说斜坡在我们日常生活中无处不在，从大楼下方便老年人和残障人士通行的无障碍通道，到工厂中将货物运送到高处的传送带，都是利用斜坡为我们的生活服务。我们也会在工作和学习之余去野外爬山锻炼身体。
如图，从山脚到山顶有两条坡路(AB)、(BD)，问哪条坡路比较陡？根据生活常识，明显感觉右边的坡路较陡些，但感觉不严谨。数学的特点之一就是严谨，那么如何用数量来刻画斜坡的倾斜程度呢？答案是采用坡角、坡度两个概念来刻画。
什么是坡角呢？斜坡与水平线的夹角叫做坡角，一般用字母(\alpha)、(\beta)、(\gamma)表示。如图(\angle BAC = \alpha)，即为坡角。
什么是坡度呢？坡面的铅垂高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡度，也叫坡比，用字母(i)表示，即(i = \frac{h}{l})。坡度通常写成(1:m)的形式，注意，在转换成这种形式时，可以对坡度中的前项和后项同时除以(h)，即可转换为(1:m)的形式。举例说明，若(h = 5)，(l = 3)，则坡度(i = \frac{h}{l} = \frac{5}{3})，不能写成(i = \frac{5}{3})，而应将前项和后项同时除以(5)，从而得到正确答案，坡度(i = 1:0.6)。
在实际问题中，还有一个量很常见，就是坡长，也就是这个直角三角形的斜边(AB)。因为坡长、铅垂高度、水平宽度构成一个直角三角形，所以当知道这三个量当中其中两个量时，就可以利用勾股定理来求出剩余的那个量。
介绍完这些概念，请同学们思考坡角和坡度有什么关系？我们发现坡角(\alpha)的对边为铅垂高度(h)，坡角(\alpha)的邻边为水平宽度(l)，那么(\tan\alpha = \frac{h}{l})，所以坡角和坡度的关系是：坡度(i = \frac{h}{l} = \tan\alpha)。显然，坡度越大，坡角(\alpha)就越大，坡面就越陡。
同样通过几个简单问题来加深对两个概念的理解：
- 斜坡的坡度是(1:\sqrt{3})，则坡角(\alpha)是多少度？利用坡角和坡度的关系(i = \tan\alpha)，将(1:\sqrt{3})化为(\frac{\sqrt{3}}{3})，再利用特殊角的三角函数(\tan30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3})，所以坡角(\alpha = 30^{\circ})。
- 斜坡的坡角是(45^{\circ})，则坡度是多少？利用坡角和坡度的关系，即特殊角的三角函数(\tan45^{\circ} = 1)，所以坡度是(1:1)。
- 坡长是(12)米，坡高(6)米，则坡度是多少？本题可以先利用(\sin\alpha = \frac{6}{12} = \frac{1}{2})，所以(\alpha = 30^{\circ})。再利用坡角和坡度的关系(\tan30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3})，必须将(\frac{\sqrt{3}}{3})的分子与分母同时除以(\sqrt{3})化为(1:\sqrt{3})的形式，所以坡度是(1:\sqrt{3})。当然，本题还有其他解法，可先利用勾股定理求出水平距离为(6\sqrt{3})，再利用坡度的定义即可求出。
有了这三个知识储备，现在一起去解决实际生活中的问题，让数学为实际生活服务。
例一：与方向角有关的实际问题。如图，一艘海轮位于灯塔(P)的北偏东(65^{\circ})方向，距离灯塔(80)海里的(A)处。它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔(P)的南偏东(34^{\circ})方向上的(B)处，这时(B)处距离灯塔(P)有多远？结果取整数。
结合图形分析题意，将实际问题化为数学问题：
一艘海轮位于灯塔(P)的北偏东(65^{\circ})方向，根据方向角的定义，可理解为(\angle NPA = 65^{\circ})，相应可知(\angle APC = 25^{\circ})。距离灯塔(P)(80)海里的(A)处，表示线段(PA = 80)海里。它沿正南方向航行一段时间，这个条件告诉我们(AB\perp PC)，这样就构造出有公共边的双直角三角形，即(Rt\triangle APC)和(Rt\triangle BPC)，为解直角三角形提供了先决条件。此条件也可理解为(AB\parallel NS)，根据两直线平行内错角相等，又知道(\angle A = 65^{\circ})。到达位于灯塔(P)的南偏东(34^{\circ})方向上的(B)处，同样根据方向角的定义可得(\angle SPB = 34^{\circ})，相应(\angle B = 34^{\circ})。(B)处距离灯塔(P)有多远，就是要求出线段(PB)的长度，结果取整数。因为实际问题中没有出现特殊角，所以计算过程需要计算器辅助。