师：同学们好，本节课我们来学习九年级下册第28章解直角三角形及其应用。上节课我们学习了解直角三角形的概念，谁能说说什么是解直角三角形呢？
生：在直角三角形中，除直角外共有5个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，就是解直角三角形。
师：非常好。那解直角三角形的依据有哪些呢？
生：三边长之间的关系是勾股定理；两锐角之间的关系是两角互余；边角之间的关系有sin a等于角a的对边比斜边，cos a等于角a的邻边比斜边，tan a等于角a的对边比邻边。
师：没错。学习了这些知识，今天我们就用它们来解决一些实际问题。生活中会遇到这样的问题：一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断点a到树根部c的距离为4米，倒下部分ab与地面bc夹角为45度，那这棵大树高是多少米？结合题意，根据图形，我们可以把这个问题抽象成一个几何问题。如图，在Rt三角形abc中，ac = 4，角b = 45度，求ab的长，进而就能求出大树的高度（ac + ab）。这里已知ac = 4，其对角为45度，利用正弦三角函数即可求出ab的长。哪位同学来解答一下？
生：在Rt三角形abc中，ac = 4，角b = 45度。因为sinb = ac / ab，所以ab = ac / sinb = 4 / sin45度 = 4 / （√2 / 2） = 4√2。所以这棵大树高是4 + 4√2米。
师：非常棒。再来看一道题。2012年6月18日，神舟九号载人航天飞船与天宫一号目标飞行器成功实现交会对接。神舟九号与天宫一号的组合体在离地球表面343千米的圆形轨道上运行。如图，当组合体运行到地球表面p点的正上方时，从中可以直接看到地球表面最远的点在什么位置，最远点与p点的距离是多少？地球半径约为6400千米，π取3.142，结果取整数。大家看图，根据题意，我们把组合体记作f，地球看成圆心为o的圆，组合体f与o的连线与圆o的交点为p。此时不难看出FO = PF + Po = 343 + 6400。组合体f看地球最远的点即为视线与圆o相切时的切点q。求最远点q与p的距离即为求弧PQ的长度。经过分析，我们把此题转化为有关圆的弧长问题。现在我来问几个问题，最远点q与圆o的位置关系是什么？
生：点q在圆上。
师：求圆上点p、q之间的距离就是求什么？
生：求弧PQ的长。
师：foq和角poq之间的关系是怎样的？
生：cos角POQ = OQ / FO 。
师：假设角POQ = α，利用弧长公式求弧PQ的长是多少？
生：弧PQ的长为απr / 180 。
师：此题解答过程如下，如图，设角POQ = α。因为FQ是圆o的切线，所以三角形FOQ是直角三角形。因为cosα = oq / of = 6400÷（6400 + 343）≈0.9491。所以α≈18.36度。所以弧PQ的长 = 18.36π÷180×6400≈2051千米。当飞船在p点正上方时，从中观测地球表面时的最远距离离p点约2051千米。这里请同学们注意，结果必须根据题目要求取整数。接下来我们再来看一道变式题。“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的诗句。如果我们想在地球上观测点1千米景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗？我们可以设弧ac代表地面，o为地球圆心，c为地面上的一点，弧ac = 1000里，换算成500千米，地球的半径为6400千米，cos 4.5度≈0.997。此题知道了弧长和半径，只要求出OB即可求出楼的高度AB。与上道题的条件结论进行了交换，但解题思路相似，都用到了三角函数解直角三角形。先可以求出角o的度数，再利用余弦三角函数即可求出OB的长。哪位同学来解一下？
生：设切点为b，自点b，bc与圆相切，切点为c，也就是c为1千米的观测处，ab就是楼的高度。在Rt三角形OCB中，角o = 弧ac÷oc×180度÷π≈4.5度。OB = oc÷cos角o = 6400÷cos 4.5度≈6419。所以AB = OB - OA = 6419 - 6400 = 19千米。这层楼至少要高19千米，即19000米。目前世界最高的楼为800多米，所以这样的楼是不存在的。
师：通过以上几道练习的学习，我们可以总结出解直角三角形解决实际问题的一般过程。一、将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，转换为解直角三角形的问题。二、根据题目中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形。三、得到数学问题的答案。四、得到实际问题的答案。温馨提示：一、当实际问题中涉及的图形能直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解。二、数学问题的解符合实际意义，才可以称为实际问题的解。三、结果必须根据题目要求进行取舍。我们再来看一道例题，如图，秋千链子的长度为3米，静止时的秋千踏板距地面0.5米。秋千向两边摆动时，最大摆角（指链子与铅垂线的夹角）约为60度，则踏板与地面的最大距离为多少？此时踏板与地面最大距离为BF，过点b做垂线构造直角三角形。此题我们就可以转化为如图的几何问题。根据题意可知，秋千踏板与地面的最大距离为BF，即CE的长度。因此，本题可以抽象为，已知d = 0.5米，ad = ab = 3米，角DAB = 60度，三角形ACB为直角三角形。求CE的长度。观察图形可知，CE = CD + de，而cd = ad - ac，ad = ab = 3米，ac在直角三角形abc中利用余弦三角函数即可求出。哪位同学来解答？