师：同学们，前面我们一起学习了相似三角形的判定定理，今天我们将运用这些定理来研究特殊三角形——直角三角形的相似。首先，回顾一下任意两个三角形相似有哪些判定方法？
生：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似。
师：非常好，那这些方法能不能用来判定直角三角形相似呢？下面我们应用类比的方法，把任意两个三角形的相似判定条件运用到两个直角三角形中。我们由判定一类比得到，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠A = ∠A' = 90°，如果满足∠B = ∠B'，能判断这两个直角三角形相似吗？
生：由条件可得∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，满足两角对应相等的两三角形相似，所以这两个直角三角形相似。
师：没错，直角三角形中90°已包含在内，所以只需满足一个锐角对应相等即可。由此我们得到：一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。由判定二类比得到，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠A = ∠A' = 90°，如果满足$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，能判定这两个直角三角形相似吗？
生：由条件可得∠A = ∠A'，两条夹边对应成比例，根据两边对应成比例且夹角相等，可以判定这两个直角三角形相似。
师：很好，AB、AC，A'B'、A'C'正好是这两个直角三角形的两条直角边。由此我们得出：两直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。上面我们已经学习了两种判定直角三角形相似的方法，下面来应用一下。如图，AD⊥BE，垂足为D，CE⊥AB交AD于F点，垂足为C。图中相似三角形有哪几对？大家想一想。
生：由条件可知图中共有4个直角三角形，分别是Rt△ABD、Rt△EBC、Rt△AFC及Rt△FDE。其中Rt△ABD和Rt△EBC共有一个锐角相等，根据一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，可得Rt△ABD相似于Rt△EBC。同理可得Rt△ACF相似于Rt△EDF，Rt△ADB相似于Rt△AFC，Rt△ECB相似于Rt△EDF。
师：非常棒，我们发现图中的这4个Rt三角形两两相似，所以这4个三角形均相似。那还有没有其他方法来证明两个直角三角形相似呢？我们想想，任意两个三角形相似的判定方法是怎么得到的？
生：是类比于全等三角形的判定方法来探究的。
师：对，全等三角形中的SSS类比得到判定1三边成比例的两个三角形相似；SAS类比得到了判定2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；ASA、AAS类比得到了判定3两角分别相等的两个三角形相似。而全等三角形判定当中还有一个特殊的直角三角形全等判定，也就是HL。那么HL能不能类比得到直角三角形相似判定呢？我们先来回顾一下直角三角形全等判定的方法。HL是斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此我们类比猜想：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。这只是猜想，猜想有正确也有不正确的，只有正确的猜想才能运用到实际问题中。下面我们来证明这个猜想。在证明之前，要把猜想翻译成几何语言，结合图形写出已知和求证。大家试试。
生：已知，如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90°，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。求证：Rt△ABC相似于Rt△A'B'C'。
师：由条件发现AB、BC和A'B'、B'C'不是直角三角形的两条直角边，所以不能用刚刚得到的直角三角形相似的判定方法。我们可以把这些条件转化成两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等，或者三边对应成比例，就可以证明这两个三角形相似了。下面我选择一种方法来证明，要证明Rt△ABC相似于Rt△A'B'C'，只需证明$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，满足三边对应成比例，这两个三角形就相似。而已知条件中$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，我们把这一比值关系设为k。这样就可以把AB转化为k倍的A'B'，BC转化为k倍的B'C'。再由勾股定理，把AC、A'C'用AB和BC来表示。由此得到$\frac{AC}{A'C'}=\frac{\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}}{C'}$，而AB和BC又可以用k倍的A'B'、k倍的B'C'分别代换。经过化简后，发现$\frac{AC}{A'C'}$也等于k。此时就得到了$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，三边对应成比例，所以Rt△ABC相似于Rt△A'B'C'。通过这个猜想的证明，我们发现，如果要证明两个直角三角形相似，证明其一条直角边和一条斜边对应成比例也是可以的。这就是我们今天主要学习的内容：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，概括来说就是斜边和一直角边对应成比例，两直角三角形相似。用符号语言描述为，如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，则Rt△ABC相似于Rt△A'B'C'。以上就是我们今天学到的3种判定直角三角形相似的方法，大家学会了吗？下面来应用一下。在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，已知∠C = ∠C' = 90°。依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明原因。第一组条件，∠A = 25°，∠B' = 65°。