师：同学们好，本节课我们要学习初中数学人民教育出版社九年级下册第28章锐角三角函数小结的第二课时。在生活中，我们总会遇到诸如天有多高、地有多厚、山高几许、水宽几何等问题。其实，这些都可以通过构建直角三角形来解释和分析。下面开始今天关于解直角三角形实际应用的复习。
在解直角三角形的实际应用中，同学们首先要掌握常见的三个概念：
一是仰角、俯角。在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
二是方位角。一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向所成的角，一般指锐角，叫做方位角，通常表达成北或南偏东或西多少度。
三是坡度、坡比、坡角。坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度或坡比，记作i，即i = h / l 。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，于是有i = tanα 。
同学们了解概念之后，接下来运用这些概念解决具体实际问题。
题型一，构造单一直角三角形模型解决实际问题。某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检时，发现该段高速公路旁一斜坡存在落石隐患。该斜坡横断面示意图中，水平线L1平行于L2 ，点A、B分别在L1、L2上，斜坡AB长18米。过点B作BC垂直L1于点C，线段AC长为2√6米。
求该斜坡的坡高BC（结果用最简根式表示）。
根据已知条件，BC垂直L1，要求坡高BC，实际就是在直角三角形ABC中，已知AB长18米，AC长2√6米，求第三边BC的长，可利用勾股定理求解。
所以在Rt三角形ABC中，BC = √(AB2 - AC2) = √(324 - 24) = 10√3米，即该斜坡的坡高BC长为10√3米。
为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造。改造后的斜坡AM的坡角α为60度，过点M作MN垂直L1于点N。改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
我们知道改造前斜坡AB长已知，求出改造后的斜坡长AM即可。根据题意，L1平行L2，BC垂直L1，MN垂直L1，所以MN = BC = 10√3米。在Rt三角形AMN中，已知α = 60度，MN = 10√3米，在直角三角形中已知一边一锐角，利用正弦函数可求出AM的长。
具体解答如下：因为α = 60度，MN垂直L1，所以sinα = MN / AM，所以AM = MN / sinα = 10√3 / sin60° = 20米，所以AM - AB = 20 - 18 = 2米，故改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了2米。
本题考察勾股定理和三角函数的应用，题目难度不大，关键在于掌握解直角三角形的两种类型：一是已知一边一锐角解直角三角形；二是已知两边解直角三角形。要掌握直角三角形中的边角关系，能够把相关问题向这两种类型进行转化，在转化过程中做到心中有图，图中有数，由数到形，数形之间灵活转换。在一个直角三角形中我们容易找到条件解决问题，接下来看看如何构造双直角三角形模型来解决实际问题。
二、在一次海上救援过程中，两艘专业救助船A、B同时收到事故渔船P的求救讯息。已知此时救助船B在救助船A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30度方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里。求收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离。
由题意可知，渔船P在救助船A的北偏西30度方向上，根据方位角定义，即图中∠A = 30度；渔船P在救助船B的西南方向上，所以∠B = 45度；渔船P与救助船A相距120海里，所以AP = 120。求渔船P与救助船B之间的距离，也就是求PB的长。
同学们思考一下，遇到这样一个实际问题，给出的图形并非直角三角形，而是斜三角形，该如何求边和角呢？其实很简单，就是将它们转化成跟直角三角形有关的图形，问题也就迎刃而解了。因此需要添加辅助线，常见构造直角三角形的辅助线就是作高，有作形内高也可作形外高。如何选择呢？一般遵循的原则是，已经有的特殊角应该出现在新的直角三角形中，不可以破坏特殊角的整体性。根据本题已知条件，显然过P作PH垂直AB于点H。
在直角三角形PAH中，由AP = 120海里，∠A = 30度，利用三角函数可求出PH的长，PH又是直角三角形PBH中的一边，又有∠B = 45度，用正弦或者勾股定理就可求出PB的长。
具体解答如下：如图，过点P作PH垂直AB于点H，在Rt三角形PAH中，由AP = 120海里，∠A = 30度可得PH = 60海里。在Rt三角形PBH中，由∠B = 45度，得PB = PH / sinB = 60√2海里，故收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离为60√2海里。
有关方位角问题关键在于认识理解方位角，将其转化成直角三角形中的锐角加以解决。本题的关键是将实际问题转化成数学问题，然后作适当辅助线构造直角三角形，使之转化为直角三角形的问题，以达到解决实际问题的目的。温馨提示，一般构造直角三角形时，已经有的特殊角应该出现在新的直角三角形中，不可以破坏特殊角的整体性。接下来我们再来看一道变式练习。
三、某校数学社团的同学们想要使用卷尺和自制测角仪测量某观星台的高度。如图所示，他们在一条水平小路MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22度，然后沿MP方向前进16米，到达点N处，测得点A的仰角为45度，测角仪的高度为1.6米。求该观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1米）。
要求观星台最高点A距离地面的高度，点到线的距离就是垂线段的长度，所以得过A做MP的垂线段AF，并且点C处有个45度仰角，所以容易想到延长BC交AF于E。这样图中就出现了两个直角三角形Rt三角形ABE和Rt三角形ACE。
由题意，已知MN = 16米，测角仪的高度是1.6米，四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形，所以EF的长等于BM = 1.6米。那么要求AF的长，只要再求出AE的长就可以了。