师：同学们，大家好，今天我们来学习锐角三角函数小节第一课时。到目前为止，我们已经结束了锐角三角函数这一章的学习，下面我们一起梳理一下本章知识框架。锐角三角函数可以从函数和图形两个角度来理解。
从函数角度看，它是初中阶段最后学习的一个函数，之前我们已经学过一次函数、二次函数、反比例函数。研究函数首先要研究自变量，前三个函数的自变量都是实数，而锐角三角函数的自变量是角度，但研究函数的方法不变。研究锐角三角函数要注意自变量的范围，其自变量取值范围是锐角，函数值指的是直角三角形中两条边的比值，然后研究自变量和函数值的关系。
同学们还记得学习锐角三角函数定义时用到的图形吗？我们一起回忆一下。在学习正弦定义时，利用相似三角形的知识，因为∠C = ∠C' = 90°，∠A = ∠A'，所以直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'通过“角角”可得相似，它们的对应边成比例，即AB : A'B' = BC : B'C'，也就是BC / AB = B'C' / A'B'。在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，角A的锐角三角函数值都是一个固定值。对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样，cosA、tanA也是A的函数，也就是说锐角三角函数表示的是一种对应关系，锐角的值确定了，它的三角函数值也就确定了；反过来，锐角三角函数值确定了，锐角的度数也就确定了。
接下来看看函数值随着自变量的变化有怎样的变化。思考：当锐角A的度数不断增大，sinA有怎样的变化趋势呢？用这个图形解释，当角A的度数不断增大时，发现角A的对边长度BC不变，而斜边AB的长度不断减小，所以BC / AB不断增大，即当锐角A的度数不断增大时，sinA的值不断增大。同学们按下暂停键想一想，当锐角A的度数不断增大，cosA和tanA又有怎样的变化趋势呢？对的，当锐角A的度数不断增大，cosA的值不断减小，tanA的值不断增大。所以在直角三角形中，随着锐角A度数的不断变化，角A的锐角三角函数值也随之变化。
刚才我们从函数的角度，用对应和变化的观点理解了锐角三角函数，接下来从图形角度梳理这一章内容。锐角正弦函数是在直角三角形中研究的。对于直角三角形，我们学过两个锐角互余的关系、三边间的勾股定理，而边角间的关系就是这章的锐角三角函数，它成为了边角联系的纽带，由此可见这一章的重要性。有了这些关系，我们就可以解直角三角形了。下面看看本章具体的三个内容。
知识点一：锐角三角函数的定义，sinA = 角A的对边 / 斜边 = a / c，cosA = 角A的邻边 / 斜边 = b / c，tanA = 角A的对边 / 角A的邻边 = a / b。角A的正弦、余弦和正切都是角A的锐角三角函数。
知识点二：特殊角的三角函数值。锐角A为30度、45度、60度时，分别对应的锐角三角函数值在这个表格里。老师建议大家不要死记硬背，可以结合图形，利用学过的性质，比如直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半，或者等腰三角形的一些性质，理解性地记忆，才能更好地灵活运用。
知识点三：解直角三角形。利用两锐角间的关系、三边间的关系以及边角间的关系，已知五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个未知元素，从而解直角三角形。
回顾完这些知识，看看它们在题目中的应用。
例题类型一：锐角三角函数的定义
在直角三角形ABC中，∠C = 90°，a = 2，c = 6。求sinA、cosA和tanA的值。题目给出直角三角形两条边的长度，可利用勾股定理求出第三条边b的值，再根据正弦、余弦和正切的定义求解。解答过程：b = √(c2 - a2) = √(62 - 22) = 4√2。根据三角函数定义，sinA = a / c = 2 / 6 = 1 / 3，cosA = b / c = 4√2 / 6 = 2√2 / 3，tanA = a / b = 2 / 4√2 = √2 / 4。本道题考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，同学们解题时结合图形会更清楚。
在直角三角形ABC中，∠C = 90°。若∠A > ∠B，则下列选项中正确的是。分析题目可知，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，所以∠A和∠B都是锐角，且∠A > ∠B，那么它们的对边关系为a > b。根据锐角三角函数的定义，将四个选项中的锐角三角函数表示出来再比较大小。通过比较发现，sinA > sinB，所以A项错误；cosA < cosB，所以正确答案选B项；tanA > tanB，所以C项错误；sinA > cosA，所以D项也是错误的。本道题考察锐角三角函数的增减性，根据锐角三角函数的定义思考问题。当然这是一道选择题，也可以利用特殊值法，比如令∠A = 60°，∠B = 30°，通过特殊角的三角函数值代入，也能很快选出正确答案，同学们可根据题目的特点选择合适的方法解决问题。
例题类型二：特殊角的三角函数值
3. 求下列各式的值。观察题目发现，两道题目都需要用到特殊角的三角函数值，将其代入计算即可。同学们请按下暂停键自己算一算。根据特殊角的三角函数值，cos45° = √2 / 2，tan45° = 1，代入第一个式子得：√2 × √2 / 2 - 1 = 1 - 1 = 0。第二题，将sin60°、tan60°和cos30°三个特殊角的三角函数值代入，最后化简得到√3。本题主要考察特殊角的三角函数值，正确使用相关数据是解决问题的关键，直接代入特殊角的三角函数值求出结果即可。
例题类型三：解直角三角形
4. 等腰三角形的底角是30度，腰长为2√3，求它的周长。首先要数形结合画出图形，分析题目可知，已知等腰三角形底角的度数和腰长，因为底角是30度，所以需要构造直角三角形，在等腰三角形中常见的辅助线是作高。过点A作AD⊥BC于点D，构造直角三角形ABD，然后选择合适的锐角三角函数求出底边BC的长度，进而求出三角形的周长。因为AB是直角三角形ABD的斜边，BD是∠B的邻边，所以利用∠B的余弦值求出BD的值。解答过程：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB = ∠ADC = 90°。根据∠B的余弦值，算出BD = 3，再根据等腰三角形的性质，BC = 2BD = 6，所以三角形ABC的周长 = BC + AB + AC = 6 + 4√3。解此题的关键是数形结合，利用等腰三角形的性质构造直角三角形，过点A作AD⊥BC于D，根据30度角的三角函数值求出BD的值，最后得出底边长度，进而求出三角形的周长。