师：同学们，欢迎来到今天的数学课堂。今天我们将共同学习初中数学北师大版九年级下册第二章第四节二次函数的应用第二课时的内容。上节课我们学习了利用二次函数解决以最大面积为代表的实际问题，体会到二次函数是一类最优化问题的数学模型。今天我们继续学习利用二次函数解决以最大利润为代表的实际问题。下面看一个问题情境，大家一起读题。在读题过程中，请提取题目中的重要信息，并思考有关销售问题中量与量间的关系。
服装厂生产某品牌的T恤衫，成本是每件10元。根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件。现在请大家帮助分析厂家批发单价是多少时可以获利最多。在学习一元二次方程的应用时，我们遇到过有关销售利润的问题，常用的数量关系是：销售利润 = 单件利润×销售量。在本题中，如果以批发单价13元，销售量为5000件，所获得的利润为(13 - 10)×5000 = 15000元。由题目可知利润随单价的变化而变化，因此可以构建函数表达式来表示变量间的关系。本题中的等量关系是销售利润 = 单件利润×销售量，那么此时我们可以选择什么量来设呢？现在给大家3分钟时间思考，下面看看同学们有哪些不同的处理方法。
生1：我设批发单价为x元，此时的单件利润为(x - 10)元，就是用批发价x减去成本价10元。降价后的销售量为5000 + $\frac{13 - x}{0.1}$×500，也就是在原有的销售量5000的基础上，增加了$\frac{13 - x}{0.1}$个500。此时的销售利润y可以表示成y = (x - 10)×(5000 + $\frac{13 - x}{0.1}$×500) 。将这个式子进一步化简成y = - 5000×(x2 - 24x + 140)，再进一步转化成顶点式，y = - 5000×(x - 12)2 + 20000，此时x的取值范围是10 < x ≤ 13。有同学问为什么x不能取10，从题目提示看，当x = 10时，此时的单件利润为0，那么总利润也为0，不符合实际问题，所以x不能取到10。根据顶点式，当x = 12时，y取得最大值等于2万元。
师：非常好，思路很清晰。我们再来看一下第二位同学的设法。
生2：我设每件T恤衫降a元，此时的销售单价可以表示成(13 - a)元，单件利润就可以表示成(13 - a - 10)元。降价后的销售量，因为T恤衫降a元，就降了$\frac{a}{0.1}$个0.1元，此时的销售量增加了$\frac{a}{0.1}$×500件，所以销售量为5000 + $\frac{a}{0.1}$×500件。销售利润y就可以表示成y = (13 - a - 10)×(5000 + $\frac{a}{0.1}$×500) 。如果要保证单件的利润不为0，a不能等于3。
师：很好，那这个式子的化简就交给同学们自己课后去处理。我们接着看第三位同学的设法。
生3：我设每件T恤衫降0.1b元，此时的单件利润为(13 - 0.1b - 10)元。此时降了b个0.1元，所以销售量增加了500b件，销售量为5000 + 500b件。销售利润y就可以表示成y = (13 - 0.1b - 10)×(5000 + 500b) ，同样要保证单件利润不为0，b不能等于30，所以此时b的取值范围是0 ≤ b < 30。
师：通过刚才三位同学的不同设法，大家比较一下，各有什么样的优缺点？在解决实际问题时，选择什么样的设法更简单明了呢？下面我们来看一个例题。大家一起读题目。例二，某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元时，每天都客满。经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？总收入是多少？在读题过程中，我们获取了本题目的等量关系式：客房日租金的总收入 = 每间客房日租金×每天客房出租数。对于本题我们又该如何来设呢？通过分析题意，本题也有多种不同的设法，有的同学习惯求什么设什么，可以设每间客房的日租金提高到x元；也有同学设每间客房的日租金提高了x元；还有同学发现每间客房的日租金每增加10元，客房每天出租数会减少6间，所以设每间客房的日租金提高了x个10元。不同的设法可以得到不同的关系式。下面老师带着同学们选择设每间客房的日租金提高x个10元，则每天客房出租数会减少6x间。如果设客房日租金的总收入为y元，则根据题目中的等量关系，y = (160 + 10x)×(120 - 6x) ，进一步转化成顶点式为y = - 60×(x - 2)2 + 19440。因为x表示提高了10元的个数，所以x ≥ 0，而且要保证每天的出租数大于0，即120 - 6x > 0，从而确定x的取值范围为0 ≤ x < 20。因为 - 60 < 0，所以当x = 2时，y有最大值19440。这时每间客房的日租金为160 + 10×2 = 180元。因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，收入为19440元。
师：当然，这种方法不是唯一的，其他方法同学们可以在课下时间自己去整理。通过解决以上两个实际问题，我们发现要解决好实际问题，首先要找出题目中的等量关系，建立相应的二次函数关系式，通过配方法化为顶点式求得最值，或者利用顶点坐标公式求得最值。求得的最值要代入到实际问题中进行检验，符合实际情境才是最终结论，这样实际问题才能得以解决。
除了用代数的方法解决以上最值问题，还可以用函数图像及性质解决相关问题。还记得本章一开始的种多少棵橙子树的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x棵与橙子总产量y个的二次函数表达式为y = (100 + x)×(600 - 5x) = - 5x2 + 100x + 60000。下面请同学们在课本图2 - 11当中画出函数图像，并根据图像回答下面的问题。第一个问题，利用函数图像描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系；第二个问题，增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上？
生：我们通过描点连线可以得到二次函数的图像。由于在实际问题中，x表示增种橙子树的棵数，所以x只能取大于等于0的整数，画函数图像的时候应该用虚线。从图像上可知，当x = 10时，橙子的总产量最大。当0 ≤ x < 10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当10 < x < 120时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少。当x = 6时，对应的y值是60420，此时橙子数大于60400，所以增种6棵橙子树时，橙子的总产量在60400个以上。除了x = 6以外，根据二次函数图像的对称性，当x = 14时，橙子的总产量也是60420。因此，当x取6、7、8、9、11、12、13、14时，橙子的总产量都在60400个以上。
师：非常好，借助函数图像能直观地解决最值问题。接下来我们来看一个练习。大家一起读题。某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？利润是多少？请同学们按下暂停键，认真思考，选择你认为最好的方法来进行解决。
生：我设销售单价提高x元，销售利润为y元。由题意可得，此时的销售单价为(30 + x)元，单件利润为(30 + x - 20)元，销售量在原来400的基础上减少了x个20，所以销售量为(400 - 20x)件。根据销售利润 = 单件利润×销售量，可得y = (30 + x - 20)×(400 - 20x) ，进而化简为y = - 20×(x - 5)2 + 4500，其中x ≥ 0且x < 20。x表示提高的单价，所以x必须大于等于0，又要保证销售量大于0，即400 - 20x > 0，解得x < 20，同样x不能取20，要保证销售量大于0，当销售量等于0时，单价再高所获得的利润都为0。从顶点式可知，当x = 5时，销售利润最大，利润为4500元，所以当销售单价为35元时，可在半月内获得的最大利润为4500元。
师：近十年的中考中，二次函数的实际应用多次被考察。在2022年的中考当中，二次函数的应用出现在第23题的压轴题上。而最大利润问题，10年当中有三年考察到，这是2017年安徽中考的第22题。大家一起读一下题目。某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本且不高于80元。经市场调查，每天的销售量y与每千克的售价x满足一次函数关系，部分数据如下表：当售价x为50元每千克时，销售量为100千克；当售价x为60元每千克时，销售量为80千克；当售价为70元每千克时，销售量为60千克。根据提示条件，我们来看要解决的问题。首先看第一个问题，求y与x之间的函数表达式。要确定一次函数的表达式，至少需要两组数据，从表格中可知，当x = 50时，y = 100；当x = 60时，y = 80。我们利用待定系数法来确定y与x之间的函数表达式。设y = kx + b，由题意可得$\begin{cases}50k + b = 100 \ 60k + b = 80\end{cases}$，解这个二元一次方程组，求得k = - 2，b = 200，因此y与x之间的函数表达式为y = - 2x + 200，且x的取值范围是40 ≤ x ≤ 80。
师：第一个问题解决了，来看第二个问题。设商品每天的总利润为w元，求w与x之间的函数表达式。我们知道总利润 = 单件的利润×销售量，因此w = (x - 40)×(- 2x + 200)，进一步化简为w = - 2x2 + 280x - 8000，x的取值范围是40 ≤ x ≤ 80。
师：第二问也解决了，来看第三个问题。说明第二问当中总利润w随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？由第二问可得w = - 2x2 + 280x - 8000，进一步转化成顶点式为w = - 2×(x - 70)2 + 1800，其中40 ≤ x ≤ 80。从解析式可知 - 2 < 0，所以当40 ≤ x ≤ 70时，w随x的增大而增大；当70 < x ≤ 80时，w随x的增大而减小。当x = 70时，获得的利润最大，此时的最大利润为1800元。
师：以上就是我们这节课的主要内容。通过本节课的学习，大家有什么收获？我们可以从知识内容、思想方法这两个方面来进行归纳总结。同学们在解决以最大利润为代表的实际问题时，首先要根据题目中的等量关系，如总利润 = 单件利润×销售量或总利润 = 总售价 - 总成本来建立函数关系式。在解决实际问题时，涨价时要保证销售量大于零，降价时要保证单件利润大于0，从而确定自变量的取值范围。最后，我们可以利用配方法或公式法来求得最大值，也可以借助于函数图像和性质求得最大值。在解决实际问题时，我们先把实际问题转化成数学问题，构建二次函数关系来解决。解决实际问题时，可以通过代数和图像两种不同的方法。
最后来看一下今天的作业，分为必做题和选做题。必做题要求每位同学都要认真独立完成。第一题，用不同的方法来解决本节课当中例2的问题；第二题，完成课本第50面的习题2.9的第一题和第二题。选做题，同学们可以根据自己的实际情况选择完成。今天这节课就上到这里，谢谢大家，再见。