师：同学们好，今天我们共同学习初中数学北师大版九年级下册第三章“弧长及扇形的面积”。本节课有两个学习目标：一是经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养大家的探索能力；二是学会用公式解决问题，训练数学应用能力。
我们先来看这样一个问题：如图，某传送带上有个半径为10厘米的转动轮，转动轮转一周，传送带上的物品a会被传送多少厘米？大家认真思考一下。
生：（思考中）
师：当转动轮转动一周时，物品a被传送的距离就等于这个圆的周长，圆周长公式是(2\pi r)，在本题中(r = 10)，直接代入可得(2\pi×10 = 20\pi)厘米。那转动轮转1度，传送带上的物品a又会被传送多少厘米呢？
生：（思考并回答）
师：当转动轮转动1度时，物品a被传送的距离占整个圆周长的(\frac{1}{360})，也就是(\frac{1}{360}×2\pi r)。第一问我们已经算出周长是(20\pi)，代入整理后得到(\frac{\pi}{18})厘米。问题三，转动轮转(n)度，传送带上的物品a被传送多少厘米呢？大家再认真思考。
生：（继续思考）
师：当转动轮转动(n)度时，传送带上的物品a被传送的距离占整个圆周长的(\frac{n}{360})，也就是(\frac{n}{360}×20\pi)，最终整理得(\frac{n\pi}{18})厘米。同学们，经过这三个问题的计算，大家能猜想出在半径为(r)的圆中，(n)度的圆心角所对的弧长计算公式吗？先认真思考。
生：（思考并尝试回答）
师：我们来分析一下，360度的圆心角对应的弧长就是整个圆的周长(2\pi r)。把整个圆分成360等份，圆心角被分成360等份，相应的弧长也分成360等份，1度的圆心角对应的弧长就占整个圆周长的(\frac{1}{360})，即(\frac{1}{360}×2\pi r)，化简得(\frac{\pi r}{180})。那两度的圆心角对应的弧长呢？
生：（回答）
师：对，两度的圆心角占两份，两份的弧长占整个圆周长的(\frac{2}{360})，也就是(\frac{2}{360}×2\pi r)，整理后得(\frac{\pi r}{90})。以此类推，(n)度的圆心角对应的弧长，(n)度圆心角代表(n)份弧长，占整个圆周长的(\frac{n}{360})，即(\frac{n}{360}×2\pi r)，化简后结果为(\frac{n\pi r}{180})。这样我们就推导出了弧长公式：在半径为(r)的圆中，(n)度的圆心角所对应的弧长计算公式为(l = \frac{n\pi r}{180})。观察这个公式，如果要算出弧长(l)，需要知道哪些量呢？
生：（回答）
师：没错，要知道圆心角的度数(n)和半径(r)。这里要强调一下，(n)代表份数，不需要加单位。接下来考考大家。制作Y型管道时，需要按中心线计算展直长度再下料，计算如图所示管道的展直长度，也就是弧AB的长，结果精确到0.1毫米。大家仔细观察图，想想怎么解题。
生：（思考解题方法）
师：求弧AB的长，我们刚学了弧长公式(l = \frac{n\pi r}{180})，要知道圆心角的度数(n)和半径(r)。从图中可以看出，圆心角的度数(n = 110)，半径(r = 40)毫米，直接代入弧长公式。我们来看解题过程：解，(r = 40)毫米，弧AB的长(l = \frac{110}{180}×40\pi)，计算整理后约等于76.8毫米，所以管道的展直长度约为76.8毫米。同学们，做对了吗？再看这样一个问题：在一块空旷草地上有根柱子，柱子上拴着条长3米的绳子，绳子另一端拴着只狗。第一问，这只狗的最大活动区域有多大？大家认真思考。
生：（思考并回答）
师：对，这只狗的最大活动区域是个圆，求活动区域大小就是求这个圆的面积，圆面积公式是(\pi r^{2})。本题中半径(r = 3)米，直接代入得(\pi×3^{2} = 9\pi)平方米。难度升级，还是这道题，问题二，如果这只狗只能绕柱子转过(n)度角，它的最大活动区域有多大呢？大家想想它的活动区域是什么样的。
生：（思考并回答）
师：没错，这时狗的最大活动区域是个扇形。因为它绕柱子转过(n)度角，不是360度角。那这个扇形的面积怎么求呢？我们先思考，如果扇形半径为(r)，圆心角为(n)度，能猜想出扇形面积公式吗？
生：（思考并尝试回答）
师：我们类比弧长公式的推导过程。360度的圆心角所对应的扇形面积就是整个圆的面积(\pi r^{2})。1度的圆心角所对应的扇形面积占整个圆面积的(\frac{1}{360})，所以是(\frac{1}{360}×\pi r^{2})，整理得(\frac{\pi r^{2}}{360})。两度的圆心角所对应的扇形面积占整个圆面积的(\frac{2}{360})，即(\frac{2}{360}×\pi r^{2} = \frac{\pi r^{2}}{180})。以此类推，(n)度的圆心角所对应的扇形面积占整个圆面积的(\frac{n}{360})，所以是(\frac{n}{360}×\pi r^{2} = \frac{n\pi r^{2}}{360})。这样我们就推导出了扇形面积公式：在半径为(r)的圆中，圆心角的度数为(n)，扇形面积计算公式为(S_{扇形} = \frac{n\pi r^{2}}{360})。观察这个公式，要求扇形面积，需要知道哪两个量呢？
生：（回答）
师：对，需要知道圆心角的度数(n)和半径(r)。那再看这道题，是不是简单了？扇形面积可直接套公式(S_{扇形} = \frac{n\pi r^{2}}{360})，本题中(r = 3)，代入可得(n)度圆心角所对扇形面积是(\frac{n}{360}×9\pi = \frac{n\pi}{40})平方米。我们已经推导出了弧长公式(l = \frac{n\pi r}{180})和扇形面积公式(S_{扇形} = \frac{n\pi r^{2}}{360})，仔细观察这两个公式，发现弧长(l)与圆心角的度数(n)以及半径(r)有关，扇形面积也与(n)和(r)有关，它们之间有什么关系呢？大家认真思考。