师：同学们，大家好！今天我们一起学习初中数学北师大版九年级下册第三单元第六节直线和圆的位置关系第二课时。首先，我们来复习上一节课的知识点。直线和圆有哪些位置关系？
生：直线和圆有相离、相交和相切。
师：非常好！通过上节课的学习，我们知道直线和圆的位置关系可以通过圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来确定，同时，d与r之间的大小关系也可判定直线和圆的位置关系。那么，切线的性质是什么？
生：圆的切线垂直于过切点的半径。
师：回答得非常好！下面我们通过一组图片开启本节课的知识点，请同学们用数学的眼光观察并回答以下问题。火车车轮可以看成什么平面图形？铁轨可以看成什么平面图形？
生：火车的车轮可以看成圆，铁轨可以看成直线。
师：车轮和铁轨之间存在着什么样的位置关系呢？
生：车轮和铁轨之间可以近似地看成相切的关系。
师：那有没有判定两者位置关系的方法？
生：可以通过d和r之间的关系来进行判断。
师：今天我们将继续探索直线和圆的位置关系。首先来看一组实验，如图，AB是圆O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α。当l绕点A旋转时，回答下列问题：随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与圆O的位置关系如何变化？当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r ？此时直线l与圆O有怎样的位置关系？为什么？请同学们动手做实验，在课外作业本上画一个圆，接着画出它的直径AB，然后拿出直尺，将一边经过点A并绕点A旋转。
（学生动手操作后）
师：相信同学们都有了自己的答案，下面我们一起来看。当直线l绕着点A进行旋转的时候，我们发现∠α在逐渐增大，此时d的大小也在逐渐增大，原来直线与圆O的位置关系是相交，紧接着就变化成了相切，进一步旋转，∠α继续增大，圆心到直线的距离d又在减少。也就是说，点O到直线l的距离d是先增大再变小，直线与l的位置关系由原来的相交到相切，然后接着再是相交。那么我们再来一起看第二题。
生：通过刚刚的分析，发现∠α等于90度的时候，点O到直线l的距离d等于半径r ，此时直线l和圆O的位置关系是相切，根据的就是d等于r，也就是上节课所学内容。
师：好，通过刚刚的实验，我们不难发现，当直线l经过半径OA的外端点A，直线l又垂直于半径OA时，直线是与圆O相切的，这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法，也就是切线的判定定理。请同学们自己组织一下语言来描述切线的判定定理。
生：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
师：非常好！在这里我们要注意两点：一是直线要经过半径的外端，二是要垂直于这条半径。这个时候我们就可以说直线CD是圆O的切线。同时我们可以用几何语言来描述，如图，因为OA是圆O的半径，直线CD经过点A，且CD垂直于OA，所以直线CD是圆O的切线。其实这个定理实际上就是d等于r来判定直线和圆相切的另一种说法。下面通过一组小练习，我们来巩固一下圆的切线的判定。请同学们认真观察三幅图，并且说明三条直线l是否为圆O的切线，如果不是，请说明为什么。
生：第一幅图中，直线不是圆的切线，因为判定圆的切线需是圆O的半径，且直线要经过半径的外端，而第一幅图当中线段并不是圆O的半径，所以直线l不是圆O的切线。
师：很好，那第二幅图呢？
生：第二幅图中，虽然OA是圆O的半径，但是直线l并没有经过半径OA的外端，所以直线l也不是圆O的切线。
师：那第三幅图呢？
生：第三幅图中，满足OA是圆O的半径，但直线l不与半径OA垂直，所以直线l也不是圆O的切线。
师：对，我们一定要注意经过半径的外端和垂直于这条半径两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。下面请同学们利用刚刚学的知识来动手做题，请你过圆上一点作圆的切线。已知圆O上有一点A，过点A作出圆O的切线。拿到这道题，首先我们分析一下，已知圆O上一点A，这样就能得出一条半径，即OA是圆O的半径。这时大家自然想到连接OA。有了半径之后，若过点A，也就是半径的外端能做出OA的垂线，那么这条垂线就是圆O的切线，因为满足圆的切线判定定理的两个条件。同学们和我一起来做图。这时我们可以借助直尺画，首先连接OA，因为直角尺有直角，在这个地方我们就直接画出这条直线，因为这个地方是直角，所以l就是圆O的切线。当然学有余力的同学，也可以利用尺规作图的方法来做出圆O的切线。
师：下面我们再来一起看一下生活当中的一个问题。数学来源于生活，同时也服务于生活。这里有一块三角形的材料，能否剪下一个圆，使其与各边都相切？我们把这个生活问题抽象成数学问题，即已知三角形ABC，要求作圆I使它与三角形ABC三边都相切。
师：对于这道题，我们可以采用逆向思维的方法。假设符合条件的圆已做出，它的圆心到三边的距离相等，因为它们都是半径，因此圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离。所以做这道题时，我们可以反过来，首先作出∠B、∠C平分线交点为I，然后过点I作出BC边的垂线ID，以I为圆心，ID长为半径，就可以作出符合题意的圆。下面请同学们在自己的本子上先画出一个三角形。
（学生画图后）
师：好，下面我们一起来做，请同学们准备好工具。第一步，分别作∠B、∠C平分线BE和CF，交点为I；第二步，过点I作ID垂直于BC，垂足为D；第三步，以I为圆心，以ID长为半径作圆I，所以圆I就是所求的圆。同学们要注意，这里面的结论一定要写出来，这是重点。
师：下面同学们想一想，这样的圆可以做出几个，为什么？
生：因为直线BE和CF只有一个交点，并且点I到三角形ABC三边的距离相等，所以和三角形ABC三边都相切的圆可以做出一个，并且只能做出一个。
师：像这样和三角形三边都相切的圆，我们叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。学到这里可能有部分同学想到我们之前学习的三角形的外接圆，希望同学们一定要把三角形的外接圆和三角形的内切圆区别开来。通过以上学习，我们一起来做一些练习。第一题，如图，AB是圆O的直径，∠ABT = 45°，AT = AB，求证AT是圆O的切线。