师：大家好，今天我们一起来学习北师大版初中数学九年级下册第二章 2.1 二次函数。首先，我们一起来欣赏一段视频。同学们，喷泉大家经常见到，节日的喷泉带来喜庆，夏日的喷泉带来凉爽。仔细观察，会发现喷泉水流经过的路线是一条曲线。其实，这样的曲线在日常生活中很常见，比如雨后的彩虹、体育课上的跳绳。大家有没有思考过，这些曲线能否用函数关系式来表示呢？实际上，这些曲线都符合同一类函数的图像。通过本章学习，大家会对上述情境有更深入的理解。我们先来看看这节课的学习目标：
理解并掌握二次函数的概念和一般形式。
会利用二次函数的概念解决问题。
会列二次函数表达式解决实际问题。
那到底什么是二次函数呢？我们先来看几个小问题。
问题一：某果园有 100 棵橙子树，每棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树提高产量，但多种树会使树间距和每棵树接受的阳光减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子。在这个问题情境中有哪些变量？哪些是自变量，哪些是因变量？
生：自变量有橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量有橙子的个数、橙子的质量。
师：假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树呢？
生：原来有 100 棵，现在增加了 x 棵，现在共有(100 + x)棵橙子树。
师：这时平均每棵树可以结多少个橙子呢？
生：原来一棵树结 600 个橙子，现在每多种一棵树就少结 5 个橙子，这时平均每棵树可以结(600 - 5x)个橙子。
师：如果果园橙子的总产量为 y 个，那么 y 与 x 之间的关系式是什么呢？
生：y = (100 + x)×(600 - 5x)，化简后等于 -5x2 + 100x + 60000。
师：问题二，银行的储蓄利率随时间变化，是个变量。在我国，利率调整由中国人民银行根据国民经济发展情况决定。设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款是 100 元，那么请写出两年后的本息和 y 的表达式（不考虑利息税）。
生：100 元存一年得到的利息是 100×x×1，一年到期后的本金和是 100×x×1 + 100，即 100×(1 + x)。两年后的本息和 y = 100×(1 + x)2，化简后是 y = 100x2 + 200x + 100。
师：问题三，两数的和是 20，设其中一个数是 x，另一个数是 20 - x，写出这两数之积 y。
生：y = x×(20 - x)，化简后等于 -x2 + 20x。
师：问题四，已知矩形的周长为 40 厘米，它的面积可能是 100 平方厘米吗？
生：如果矩形是正方形，周长是 40 厘米，边长就是 10 厘米，面积是 10×10 = 100 平方厘米。
师：那可能是 75 平方厘米吗？
生：可能，如果两边长一边是 5 厘米，另一边长是 15 厘米，5×15 = 75 平方厘米。
师：如果设矩形的一边长为 x 厘米，面积为 s 平方厘米，另一边长就是(20 - x)厘米。那么根据题意，s 与 x 的关系式是什么？
生：s = x×(20 - x)，化简后等于 -x2 + 20x。
师：咱们一起来观察刚才 4 个小问题当中得到的关系式。对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之相对应，所以我们说 y 是 x 的函数，其他三个也是如此。进一步观察这四个函数关系式，等号左边全部是因变量，等号右边都是以 x 为自变量的二次整式来表示的。函数主要以自变量的最高次数命名，所以这 4 个都是二次函数。那如何给二次函数下定义呢？大家回想一下，我们当时是如何给一元二次方程和一次函数下定义的？
生：一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0（a、b、c 为常数，a ≠ 0）；一般形如 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数称为一次函数。
师：那我们类比这两个概念，就很容易给二次函数下定义。一般地，若两个变量 x、y 之间的对应关系表示成 y = ax2 + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的二次函数。这里，a 为二次项系数，ax2叫做二次项，b 为一次项系数，bx 叫一次项，c 为常数项。针对二次函数的定义，老师给大家几条温馨提示：
写二次函数关系式时，等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式，注意等号右边必须是整式。
a、b、c 为常数，要保证 a 一定不等于 0。
等式右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项，否则就不是二次函数。
师：回过头来，看看刚才得到的 4 个二次函数关系式，大家想一想，在这 4 个函数关系式中，自变量能取哪些值呢？结合问题情景分析。
生：第一个问题情境中，自变量 x 可以取自然数，因为增种的橙子树棵数必须是自然数；第二题，x 的取值范围必须符合国家法律规定的利率的值，即大于等于 0，小于等于 36%；第三题，x 可以为一切实数；第四题，x 大于 0 小于 20，因为它是矩形的边长。
师：实际上，二次函数的自变量取值范围是所有实数，但在实际问题中要考虑实际背景，自变量取值范围就会有一些限制。我们来看几道小例题。
例一，下列函数中是二次函数的有哪些？
（此处未提及具体函数，假设为 y = 3x2 + 2x）
y = 2x2 + x×(1 - 2x)，乍一看好像是，但化简后二次项系数为 0，没有二次项，所以不是。
y = x2×(1 + x2) - 1，化简后发现最高次项是 4 次，所以不是。