师：大家好，欢迎进入空中课堂。今天我们讲解初中数学北师大版九年级下册第二章第五节二次函数与一元二次方程的第二课时。首先，我们回顾一下上节课所学内容。二次函数(y = ax2 + bx + c)的图像与一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)存在紧密关系。若二次函数图像与(x)轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；若函数图像与(x)轴仅有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；若函数图像与(x)轴无交点，一元二次方程则无实数根。并且，二次函数(y = ax2 + bx + c)与(x)轴交点的横坐标，就是一元二次方程(y = ax2 + bx + c = 0)的根。
接下来，依据上述知识点，我们解决下面两个问题。观察右边图像，抛物线(y = x2 + 2x - 3)的图像与(x)轴有两个交点，其横坐标分别是(-3)和(1)，所以方程(x2 + 2x - 3 = 0)的根为(x? = -3)，(x? = 1)。再看第四题，抛物线(y = x2 - 4x + 4)的图像与(x)轴有一个交点，横坐标是(2)，那么方程(x2 - 4x + 4 = 0)的根为(x? = x? = 2)。这两题都表明，函数图像与(x)轴交点的横坐标就是一元二次方程的根。我们发现，这两个题中函数图像与(x)轴的交点是整数点。那如果函数图像与(x)轴的交点不在整数点上，该如何处理呢？这就是本节课我们要研究的内容。
首先看(B1)，能否利用二次函数的图像估计一元二次方程(x2 + 2x - 10 = 0)的根呢？我们先用列表描点的方式画出(y = x2 + 2x - 10)的函数图像。观察图像可知，函数图像与(x)轴存在两个交点。但我们无法从图像中准确看出(x2 + 2x - 10 = 0)的根，因为函数图像与(x)轴的交点不在整数点上。由图像可知，方程(x2 + 2x - 10 = 0)有两个根，一个根在(-5)与(-4)之间，另一个根在(2)和(3)之间。
第二，估计方程(x2 + 2x - 10 = 0)的近似根。由图像可知，函数图像与(x)轴没有交于整数点，我们发现(A)点在(-4)与(-5)之间，且更靠近(-4)。所以，我们用逼近的方法来求(A)点的坐标。因为(A)点靠近(-4)，所以从(-4)开始分别取值(-4.1)、(-4.2)、(-4.3)、(-4.4)，然后借助计算器求出对应的函数值。当(x = -4.1)时，(y = -1.39)。同样，用计算器算出其他三个数值。通过观察表格发现，当(x = -4.3)时，(y)的函数值等于(-0.11)，更接近于(0)，所以我们认为(A)点的坐标是(( -4.3, -0.11))，进而估计方程(x2 + 2x - 10 = 0)的一个根为(x? ≈ -4.3)。
用同样的方法，观察(B)点在整数点(2)与(3)之间，赋值从(2.1)开始，(2.2)、(2.3)、(2.4)，借助计算器计算出对应的(y)值，分别是(-1.39)、(-0.76)、(-0.11)、(0.56)。观察可知，当(x = 2.3)时，(y = -0.11)，我们就认为(B)点的坐标是((2.3, -0.11))，所以估计方程(x2 + 2x - 10 = 0)的近似根为(x? ≈ 2.3)。
下面总结一下利用二次函数(y = ax2 + bx + c)图像求一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)近似根的一般步骤：
用描点法作出二次函数(y = ax2 + bx + c)的图像。
观察并估计二次函数图像与(x)轴交点的横坐标。
确定一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)的解，可采用逼近的方法。
其实，求近似根还有其他两种方法，即度量法和放大图像法，但这两种方法需借助电脑软件几何画板。现在我们打开这个软件，首先在软件中编辑出(y = x2 + 2x - 10)的解析式，然后绘制函数图像。我们发现二次函数图像与(x)轴交于(A)、(B)两点，接着度量(A)、(B)两点的横坐标，(A)点的横坐标为(-4.32)，(B)点的横坐标为(2.32)，所以我们认为(x2 + 2x - 10 = 0)这个方程的一个解是(-4.32)，另一个解是(2.32)。我们还可以通过点击右键选择属性的方式改变横坐标的精确度，比如保留一位小数，就精确到(\frac{1}{10})；保留两位小数，就精确到(1%)。采用几何画板的方式能方便、快速地求出(A)、(B)两点的横坐标。
第三种方法是放大图像法。同样在软件中编辑出函数解析式并绘制图像，发现图像与(x)轴交于两点，现在放大图像。我们可以清晰看到其中一个点的数值在(2.3)和(2.4)之间，且更接近于(2.3)，所以此时我们认为(x = 2.3)是方程(x2 + 2x - 10 = 0)的一个解。观察图像左边，另一个交点在(-4.3)与(-4.4)之间，更接近于(-4.3)，所以我们认为(-4.3)是方程(x2 + 2x - 10 = 0)的另一个根。
现在看例(2)，利用图像求(x2 + 2x - 10 = 3)的近似根。这个方程与之前的方程有何不同呢？此方程左边与例(1)的方程左边相同，但右边数值例(1)是(0)，例(2)是(3)。我们可以采用转化的方式，把(x2 + 2x - 10 = 3)变成(x2 + 2x - 13 = 0)的形式。然后用描点连线的方式画出函数(y = x2 + 2x - 13)的函数图像，观察并估计抛物线(y = x2 + 2x - 13)与(x)轴的交点坐标。从图像可知它们有两个交点，横坐标一个在(-5)与(-4)之间，另一个在(2)与(3)之间。采用同样的方式，发现(A)点更靠近(-5)，所以赋值时取的数值应更接近于(-5)，即(x = -4.5)、(-4.6)、(-4.7)、(-4.8)，利用计算器分别计算出对应的(y)值。