师：同学们好，欢迎走进数学课堂。今天我们学习初中数学北师大版九年级下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式第一课时。通过之前几节课的学习，我们了解了二次函数常用的两种表达方式：一般式$y = ax2 + bx + c$，顶点式$y = a(x - h)2 + k$，并通过图像探究了二次函数的一些重要性质。本节课我们继续学习二次函数其他相关知识。请看问题：一名学生推铅球时，铅球行进的高度$y$与水平距离$x$之间的关系如图所示，其中$(4,3)$为图像的顶点。你能求出$y$与$x$之间的关系式吗？
问题是让我们求出$y$与$x$之间的关系式。由题意可知，函数图像是一条抛物线，说明此函数为二次函数，其实就是让我们确定二次函数的表达式，这就是今天要探究的问题。那么确定二次函数表达式的方法是什么呢？大家回想一下，类比之前学过的一次函数与反比例函数，当时我们用什么方法确定它们的函数关系式？
生：用的是待定系数法。
师：非常好。同学们还记得待定系数法的一般步骤吗？
生：第一步设出函数关系式；第二步将已知条件代入关系式，得到关于待定系数的方程或者方程组；第三步解这个方程，求出待定系数的值；第四步作答。
师：非常棒。那问题二，确定二次函数的表达式需要几个条件？我们回顾一下一次函数，一次函数$y = kx + b$有几个待定系数？确定一次函数表达式需要几个条件？
生：一次函数$y = kx + b$有两个待定系数$k$和$b$，求关系式通常需要两个条件。
师：很好，那反比例函数$y = \frac{k}{x}$中有几个待定系数？确定反比例函数表达式需要几个条件？
生：反比例函数$y = \frac{k}{x}$中只有一个待定系数$k$，通常只需要一个条件。
师：没错。再来看看二次函数，二次函数有两种表达方式，一般式$y = ax2 + bx + c$，顶点式$y = a(x - h)2 + k$。在一般式$y = ax2 + bx + c$中有$3$个待定系数，因此需要$3$个条件。而顶点式$y = a(x - h)2 + k$中，如果知道二次函数顶点的坐标，也就知道了$h$和$k$的值，再需要一个条件就可以求出$a$的值，也就是说只需要两个条件。既然知道确定二次函数关系式的方法以及所需条件，下面我们来看一个例题。
已知二次函数$y = ax2 + c$的图像经过点$(2,3)$和$(-1,-3)$，求这个二次函数的表达式。我们看看已知条件，一是函数关系式$y = ax2 + c$，其中$a$和$c$未知；二是函数图像经过$(2,3)$和$(-1,-3)$这两点，说明这两点在函数图像上，点的坐标满足函数关系式。所以我们只要将这两点代入关系式中，就会得到关于$a$和$c$的方程组，然后解方程组就能得到$a$与$c$的值，从而求出二次函数表达式。具体过程如下：
将点$(2,3)$和$(-1,-3)$代入$y = ax2 + c$中，得到方程组$\begin{cases}3 = 4a + c \ -3 = a + c \end{cases}$。请同学们快速计算一下$a$与$c$的值。
生：解这个方程组可得$a = 2$，$c = -5$。
师：非常好，所以这个二次函数的表达式就为$y = 2x2 - 5$。我们回顾一下整个过程，第一步设出二次函数的关系式$y = ax2 + c$，题目已设好；第二步将已知条件代入关系式，列出方程组；第三步解方程组，求出待定系数的值；第四步作答。这就是待定系数法的一般步骤。接下来我们探究本节课刚开始提到的学生推铅球的问题。
例题二，一名学生推铅球时，铅球行进的高度$y$与水平距离$x$之间的关系如图所示，其中$(4,3)$为图像的顶点，你能求出$y$与$x$之间的关系式吗？根据已知条件，$(4,3)$为图像顶点，且图像是抛物线。大家想想，设关系式时怎样设更方便？
生：设成顶点式，也就是$y = a(x - h)2 + k$。
师：对，由于顶点是$(4,3)$，所以$h = 4$，$k = 3$，函数关系式就是$y = a(x - 4)2 + 3$。又因为图像经过$(10,0)$，将$(10,0)$这一点代入函数关系式，得到方程$(10 - 4)2a + 3 = 0$。解这个方程可得$a = -\frac{1}{12}$。那么图中函数的关系式就为$y = -\frac{1}{12}(x - 4)2 + 3$。我们可以看出这个问题同样利用了待定系数法，第一步设出函数关系式；第二步列出关于待定系数的方程；第三步求出待定系数$a$的值；最后作答。这就是待定系数法的$4$个步骤。同学们思考一下，这个问题还有其他方法吗？可不可以把关系式设为一般形式呢？我们来尝试一下。