师：各位同学，大家好！很高兴与你们一起分享今天的数学课堂。本节课，我们一起来学习初中数学北师大版九年级下册第二章第二节二次函数的图像与性质第一课时。大家准备好了吗？那我们开始吧。
我们之前学习了一次函数与反比例函数，还记得它们的研究思路吗？以一次函数为例，先学习一次函数的概念，接着学习一次函数的图像与性质，最后学习一次函数在实际生活中的应用，这就是初中阶段学习函数的基本思路。上节课，我们学习了二次函数的概念。那什么是二次函数呢？一般来说，若两个变量(x)、(y)之间的对应关系可以表示成(y = ax2 + bx + c)（(a)、(b)、(c)为常数且(a ≠ 0)）的形式，则称(y)是(x)的二次函数。类比前面函数的研究思路，大家能推测一下二次函数将要研究哪些内容吗？
生：二次函数的图像与性质，还有二次函数的应用。
师：非常好。我们知道二次函数的一般式为(y = ax2 + bx + c)（(a)、(b)、(c)是常数，且(a ≠ 0)）。当(a = ±1)，(b = 0)，(c = 0)时，就变成了函数(y = x2)与(y = -x2)。今天，我们就以这两种最简单的二次函数为例，研究其图像与性质。首先，我们来探究一下(y = x2)的图像与性质。大家能画出二次函数(y = x2)的图像吗？用描点法画函数图像有三个步骤，分别是列表、描点、连线。在列表时，如何取自变量的值呢？我们知道函数(y = x2)，自变量的取值范围为全体实数。为了让取得的自变量具有代表性，我们以(0)为中心，可以取(x)的一些值，如(x)可以取(1)、(2)、(3)、(-1)、(-2)、(-3)。请同学们把表格填写完整，然后观察表格，说说你们有什么发现？
生：当(x)取互为相反数时，函数值相同。比如当(x = 3)或(-3)时，(y)的值均为(9)。
师：很好。当我们把表格中的(x)和(y)的值在平面直角坐标系中描点后，会发现其中一些点的位置很特殊，如(( -3, 9))、((3, 9))、(( -2, 4))、((2, 4))。它们都关于(y)轴对称，这说明二次函数(y = x2)的图像与一次函数的图像完全不同。那下面请同学们再思考一下，当描出(7)个点后，相邻两点之间能用线段连接吗？
生：不能，通过计算，我们可以取更多的点。用描点法做函数图像时，点越多越能看出函数图像的趋势。当取的点越来越多，越来越密时，这些点在一条曲线上。
师：没错，所以我们要用平滑的曲线顺次连接各点。因为自变量的取值为全体实数，所以图像左右两端要出头。这样我们就得到了(y = x2)的图像。请同学们仔细观察(y = x2)的图像，回答下列问题。第一，你能描述图像的形状吗？大家见过打篮球吗？篮球抛出后在空中的运动轨迹就是这样一种曲线，(y = x2)的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。那抛物线的开口方向是怎样的呢？
生：开口向上。
师：对。第二，图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
生：图像是关于(y)轴对称，对称轴是(y)轴，也就是直线(x = 0)。
师：非常正确。第三，图像与(x)轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
生：图像与(x)轴有交点，坐标是((0, 0))。
师：大家再仔细观察，这个点也在对称轴上。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，坐标为((0, 0))。第四，当(x < 0)时，随着(x)值的增大，(y)的值如何变化？当(x > 0)时呢？
生：当(x < 0)时，也就是在对称轴的左侧，抛物线从左向右呈下降趋势。在抛物线上任取两点((x?, y?))，((x?, y?))，由(x?)到(x?)逐渐增大，而(y?)到(y?)逐渐减小。也就是说，当(x < 0)时，(y)随着(x)的增大而减小。当(x > 0)时，图像在对称轴的右侧，抛物线从左向右呈上升趋势。同样在抛物线上取((x?, y?))，((x?, y?))，从(x?)到(x?)逐渐增大，(y?)到(y?)也逐渐增大。也就是说，当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。
师：很好。下面我们再来看第五个问题，当(x)取何值时，(y)的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
生：从图像上可以看出，顶点是图像的最低点，坐标为((0, 0))，也就是说当(x = 0)时，(y)有最小值为(0)。从表达式(y = x2)也可以看出，当(x)为任意实数时，(x2≥0)，即(y≥0)，所以(y)有最小值为(0)，此时(x = 0)。
师：所以无论从数还是从形的角度都可以得到，当(x = 0)时，(y)有最小值为(0)。通过刚刚(5)个问题的探究，我们对(y = x2)的图像与性质有了一定的认识，下面我们来归纳一下。请同学们按下暂停键填写表格。
（一段时间后）
师：(y = x2)的图像开口向上，对称轴是(y)轴或直线(x = 0)，顶点坐标是原点((0, 0))。增减性方面，当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。因为图像有最低点，所以当(x = 0)时，(y)也有最小值为(0)。理解了(y = x2)的图像与性质，大家能类比(y = x2)的研究思路，画出函数(y = -x2)的图像，并说出函数(y = -x2)有哪些性质吗？现在请同学们在作业本上画出(y = -x2)的图像。
（一段时间后）
师：相信同学们都已经完成，现在我们来共同看一下。首先列表，(x)可以取(0)、(1)、(2)、(3)、(-1)、(-2)、(-3)，求出相应的(y)的值，下一步描点，然后连线，用光滑的曲线顺次连接各点，这样就得到了(y = -x2)的图像，你们画对了吗？观察(y = -x2)的图像，你能说出(y = -x2)有哪些性质吗？可以从以下几方面进行总结：形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。
生：形状是抛物线，开口方向向下，对称轴是(y)轴或者直线(x = 0)，顶点坐标是原点((0, 0))。增减性方面，当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小。最值是当(x = 0)时，(y)有最大值为(0)。
师：非常好。下面请同学们把下面的表格补充完整，相信同学们都能总结得很好。
（表格补充完成后）
师：这个表格是从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值方面对(y = x2)与(y = -x2)的图像与性质做了总结，希望大家都能理解记忆。明白了(y = x2)与(y = -x2)的图像与性质，现在请同学们思考这两个函数图像有什么异同，它们又有什么联系？
生：相同点是图像的形状相同，都是抛物线；对称轴也相同，都是(y)轴；顶点坐标相同，都是原点((0, 0))。不同点是开口方向不同，(y = x2)的图像开口向上，(y = -x2)的图像开口向下。增减性不同，(y = x2)的图像，当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。而(y = -x2)的图像，当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小。(y = x2)有最小值，(y = -x2)有最大值。它们的联系是二次函数(y = x2)与(y = -x2)的图像关于(x)轴对称。