师：同学们好，今天我们学习北师大版教材九年级下册第二章第五节二次函数与一元二次方程第一课时，开启本节课的学习之旅。首先看一个生活中的问题：竖直上抛物体的高度 h 米与运动时间 t 秒的关系，可近似用公式 h = -5t2 + v?t + h? 表示，其中 h? 是抛出时的高度，v? 是抛出时的速度。一个小球从地面被以 40 米每秒的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度 h 米与运动时间 t 秒的关系如图所示。
观察并思考下列问题。第一个问题，h 和 t 的关系式是什么？从题意可知，小球从地面竖直向上抛起，所以 h? = 0，抛出速度 v? = 40。将 h? = 0，v? = 40 代入 h = -5t2 + v?t + h? 中，得到 h 与 t 的关系式为 h = -5t2 + 40t 。
再看第二个问题，小球经过多少秒后落地？有哪些方法？解决这一问题有两种方案。第一种方法，观察图像可知 8 秒钟后落地。第二种方案，小球落地时高度为 0，令 h = 0，得到一元二次方程 -5t2 + 40t = 0，解这个方程也能得到 t 的值。从这个例子说明，解决这一问题既可以观察图像，又可以解一元二次方程。
下面进一步探究二次函数与一元二次方程之间的联系。来看三个二次函数的图像：第一个 y = x2 + 2x，第二个是 y = x2 - 2x + 1，第三个 y = x2 - 2x + 2，图像分别如下。与同伴交流并回答下列问题。
先看第一个二次函数 y = x2 + 2x 的图像与 x 轴有几个交点？同学们观察可看出有两个交点，分别是(-2, 0)和(0, 0)。那么一元二次方程 x2 + 2x = 0 有几个根呢？同学们在草稿纸上解一下。解出来 x? = 0，x? = -2，这个一元二次方程有两个根 -2 和 0。
再看第二个二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图像与 x 轴有几个交点？观察函数图像，抛物线与 x 轴只有一个交点(1, 0)。然后看一元二次方程 x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？同学们在草稿纸上算一下。得到方程的根 x? = x? = 1，根的情况是两个相等的实数根 1。
再看第三个二次函数 y = x2 - 2x + 2 的图像与 x 轴有几个交点？同学们观察回答。发现这个抛物线与 x 轴没有交点。那么一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有几个根呢？在草稿纸上解这个方程，先算 Δ = b2 - 4ac = -4 ＜ 0，原方程无实数根，所以这个一元二次方程没有实数根。
根据以上三种情况探讨，思考下面的问题：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像与 x 轴交点的个数，与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系？二次函数 y = ax2 + bx + c 图像与 x 轴交点个数有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。而一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。
那么二次函数 y = ax2 + bx + c 图像与 x 轴交点的三种情况，与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的三种情况之间有什么联系呢？根据刚才探讨的三种情况得出：当二次函数 y = ax2 + bx + c 图像与 x 轴有两个交点时，对应的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根；当二次函数 y = ax2 + bx + c 图像与 x 轴有一个交点时，对应的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个相等的实数根；当二次函数 y = ax2 + bx + c 图像与 x 轴没有交点时，对应的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 没有实数根，它们之间是一一对应的关系。
掌握这一点知识后，以后判断二次函数 y = ax2 + bx + c 图像与 x 轴的交点情况，只需要判断所对应的方程的根的情况即可。下面看一个练习：观察判断下列图像哪个有可能是抛物线 y = -x2 + 2x - 3 的图像。首先这里 a = -1，开口向下，先把 C 答案排除。然后用刚才学过的知识，看这个抛物线与 x 轴的交点情况，只需要判断一元二次方程 -x2 + 2x - 3 = 0 的根的情况。同学们在草稿纸上算一下，通过计算，这个方程的 Δ = b2 - 4ac = -8 ＜ 0，说明这个抛物线与 x 轴没有交点，因此选 D。
二次函数 y = ax2 + bx + c 图像与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根，除此之外还有哪些关系呢？请看观察函数图像完成填空。第一小问，抛物线与 x 轴有几个交点？观察图像很容易得出两个，它们的横坐标是 -2 和 1。第二问，当 x 取交点的横坐标时，函数值为多少？意思就是当 x = -2 时和当 x = 1 时，y 等于多少？因为抛物线与 x 轴的交点坐标分别为(-2, 0)、(1, 0)，所以当 x = -2 或 1 时，函数值都为 0。第三问，一元二次方程 x2 + x - 2 = 0 的根是多少？同学们认真算一算，它的两个根分别是 x? = -2，x? = 1。同学们思考一下，发现了什么？