师：同学们好，今天我们来学习 21.2 节解一元二次方程的第六课时——一元二次方程根与系数的关系。首先，回忆一下一元二次方程的一般形式是什么？
生：是$AX^2 + BX + C = 0$，二次项系数$a$不等于$0$。
师：对。第二个问题，在方程$ax^2 + bx + c = 0$中，$b^2 - 4ac$的取值决定了什么？并写出一元二次方程的求根公式。
生：$b^2 - 4ac$的取值决定根的情况。当$\Delta\geq0$时，求根公式是$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
师：我们发现一元二次方程的根与系数有着密切的关系，上面的求根公式也反映了这种关系。除二次项系数外，一次项系数和常数项都参与其中，但这种关系较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们就进一步研究探索一元二次方程根与系数的关系。首先，来看三个方程，请大家解出这三个方程。
（学生解题）
师：解好了吗？我们来看它们的两个根。第一个方程很简单，$x_1 = 3$，$x_2 = 4$。两根之和等于多少呢？
生：是$7$。
师：积是多少？
生：是$12$。
师：第二个方程$x^2 - 2x = 0$，它的两根是多少？
生：是$0$和$2$。
师：那么两根之和是多少？
生：是$2$。
师：两根之积呢？
生：是$0$。
师：第三个方程$2x^2 + 3x - 2 = 0$的两根是多少？
生：是$-2$和$\frac{1}{2}$。
师：它们的两根之和是多少？
生：是$-\frac{3}{2}$。
师：两根之积呢？
生：是$-1$。
师：问题来了，请观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？也就是$x_1 + x_2$的结果和二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$有什么联系？大家交流一下，把想法写在纸上。
（学生交流思考）
师：不错，已有同学得出结果。有的同学得出$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。这是我们的猜想，接下来要予以证明。对于方程$ax^2 + bx + c = 0$，当$\Delta\geq0$时，要研究根与系数的关系，其大前提就是$\Delta\geq0$。该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？我们通过以下方式证明。首先假设当$\Delta\geq0$时，$ax^2 + bx + c = 0$的两个根为$x_1$和$x_2$，那么$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$，大家能看懂吗？
生：能。
师：然后把后面的乘积去掉括号，变成$a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2]$。同时$ax^2 + bx + c$还可写成$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})$。大家注意到了吗？这两个式子都是由$ax^2 + bx + c$变化而来，且$a$的部分一样。所以我们得到等式$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$。根据对应相等，可得$\frac{b}{a} = -(x_1 + x_2)$，$\frac{c}{a} = x_1x_2$，进而得到$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。这个方法听懂了吗？是不是只有这一种证明方法呢？还有其他方法吗？
生：可以用公式法。
师：对，公式法怎么证明呢？我们不妨把它解出来。由公式法可得，当$\Delta\geq0$时，$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。直接把它们相加，$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -\frac{2b}{2a} = -\frac{b}{a}$，得到我们猜想的结果。下面计算乘法，$x_1 \cdot x_2$，分母相乘为$4a^2$，分子相乘用平方差公式比较方便，化简后得到$\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$。看，我们的猜想得到了验证，即$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
好，既然证明了，我们得出结论：对于方程$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a\neq0$，当$\Delta\geq0$时，两根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为韦达定理。了解了吗？既然可以使用了，我们来做相关练习。请看第一题，不解方程，求出下列一元二次方程两根的和与两根的积。
（学生做题）
师：第一题，大前提是一定有根。所以$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。第二题可以直接使用韦达定理吗？
生：不行，不是一般形式。
师：对，首先要把它化成一般式，也就是$x^2 - 3x - 8 = 0$。再利用韦达定理得到$x_1 + x_2 = 3$，$x_1 \cdot x_2 = -8$，注意先移项。第三个式子同样需要先移项，大家试一下。
生：$x_1 + x_2 = \frac{1}{7}$，$x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{7}$。
师：再次提醒，一定要先移项，把它变成一般式。以上三题都做对了吗？这只是简单应用，使用韦达定理需要注意：一、必须证明$\Delta\geq0$才可以使用；二、先把方程化为一般式才能使用。我们看一道变式，小明说一元二次方程$x^2 + x + 2 = 0$中两根之和为$-1$，两根之积为$2$，他说的对吗？
生：不对。
师：为什么呢？有的同学说，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$不就是$-1$吗？$x_1 \cdot x_2$不就是$2$吗？怎么不对呢？
生：要用韦达定理，首先$\Delta$就要大于等于$0$，但这个方程$\Delta = b^2 - 4ac < 0$，方程无实数根。
师：对，所以小明的说法错误。
再看一道变式题，若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有一个解为$x = -1$，则另外一个解为多少？以前我们会把$x = -1$代入求出$m$，再求另一个解。现在有没有更简单的方法呢？
生：由韦达定理可得$x_1 + x_2 = 2$，设另外一个解为$x_1$，则$-1 + x_1 = 2$，解得$x_1 = 3$。
师：所以这道题应该选$C$。
再看一道变式，已知方程$x^2 - (k + 1)x + 3k = 0$，它的一个根是$2$，求它的另外一个根及$k$的值。学习韦达定理后这道题怎么做呢？
生：设方程的另外一个根为$x_1$，把$x = 2$代入方程得到$4 - 2(k + 1) + 3k = 0$，解得$k = -2$。由根与系数的关系得到$x_1 \cdot 2 = 3k = -6$，所以另外一个根$x_1 = -3$。
师：故方程的另外一个根是$-3$，$k$的值是$-2$，会用了吗？一元二次方程根与系数的关系不止这些应用，还有一些更深层次的变形。这里列举了$5$个常用的变形，当然还有其他变形，大家要自己推导。比如$x_1^2 + x_2^2$，怎么用到$x_1 + x_2$与$x_1 \cdot x_2$呢？
生：可以变成$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$。
师：对，这样就能使用韦达定理了。同样，$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$，也可直接使用。而$|x_1 - x_2|$稍微复杂一些，利用$\sqrt{a^2} = |a|$，反过来$|a| = \sqrt{a^2}$的性质，$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2}$。第四个式子$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$，大家自己做一下。
生：结果是$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1 \cdot x_2}$。
师：对。对于第五个，展开去掉括号就可以了，$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1 \cdot x_2 + x_1 + x_2 + 1$。所有这些变形式，只要耐心推导，一定能得出结果。
我们来看例一，设$x_1$，$x_2$为方程$x^2 - 4x + 1 = 0$的两个根，则第一问$x_1 + x_2$等于多少？第二问$x_1 \cdot x_2$等于多少？第三问$x_1^2 + x_2^2$等于多少？第四问$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$等于多少？第五问$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$等于多少？同学们思考并做一下。
生：第一题答案是$4$，第二题答案是$1$，第三题答案是$14$，第四题答案是$6$，第五题答案是$4$。
师：以上只是简单应用，再看深层次的应用变式，已知方程$x^2 + kx + k + 2 = 0$的两个实数根是$x_1$，$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 4$，求$k$的值。很多同学拿到题容易犯一个错误，目光集中在$x_1^2 + x_2^2 = 4$上，忽视了使用韦达定理最优先的前提是什么？
生：$\Delta\geq0$。
师：对，这道题先由根与系数的关系得到$x_1 + x_2 = -k$，$x_1 \cdot x_2 = k + 2$。因为$x_1^2 + x_2^2 = 4$，利用变形可得$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 = 4$，即$k^2 - 2(k + 2) = 4$，解得$k = 4$或$k = -2$。但这两个答案都对吗？别忘了$\Delta$，此时$\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4k - 8$，这是个一元二次不等式，目前我们还不会解。怎么办呢？
生：把两个答案代入验证。
师：对，代入得，当$k = 4$时，$\Delta < 0$，不符合要求；当$k = -2$时，$\Delta > 0$，可以。所以综上，$k = -2$，大家有没有忘记考虑$\Delta$？
再来，关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且$x_1 + 3x_2 = 5$，则$m$的值为多少？有的同学可能犯迷糊，觉得$x_1 + x_2$系数一样好处理，这里$x_1 + 3x_2$系数不一样该怎么办呢？
生：因为$x_1 + x_2 = 4$，所以$x_1 + 3x_2$可以写成$x_1 + x_2 + 2x_2$，即$4 + 2x_2 = 5$，解得$x_2 = \frac{1}{2}$。把$x_2 = \frac{1}{2}$代入方程$\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\times\frac{1}{2} + m = 0$，解得$m = \frac{7}{4}$。
师：对，别忘了验证$\Delta$。经验证，此时$\Delta > 0$，故这道题选$A$，做对了吗？
再看一道变式，已知$m$和$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$的两个解。若$(m - 1)(n - 1) = -6$，则$a$的值是多少？这道题就舒服一些，因为$m$和$n$系数一样。
生：因为$m$、$n$是方程的两个根，所以$m + n = 3$，$mn = a$。把$(m - 1)(n - 1)$展开得到$mn - (m + n) + 1 = -6$，代入可得$a - 3 + 1 = -6$，解得$a = -4$。
师：别忘了还要考虑什么？
生：$\Delta$。
师：对，经验证$\Delta > 0$，故这道题$a = -4$，选$C$，做对了吗？
已知$a$、$b$满足$a^2 - 6a + 2 = 0$，$b^2 - 6b + 2 = 0$，那么$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$会是多少？有的同学拿到题会懵，仔细观察这两个式子，发现了什么？
生：可能有两种情况，$a = b$和$a \neq b$。
师：对，当$a = b$时，$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 1 + 1 = 2$。当$a \neq b$时，$a$、$b$可看成一元二次方程$x^2 - 6x + 2 = 0$的两个不等根，利用韦达定理得到$a + b = 6$，$ab = 2$。此时$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$，代入数值得到$16$。所以这道题结果有两个，分别是$2$或$16$，选$D$，做对了吗？
若$\alpha$和$\beta$是方程$x^2 + 2x - 2022 = 0$的两个实数根，则$\alpha^2 + 3\alpha + \beta$的值是多少？这道题和平时遇到的两根之和、两根之积形式不太一样，怎么办呢？
生：因为$\alpha$是方程的根，所以$\alpha^2 + 2\alpha - 2022 = 0$，即$\alpha^2 + 2\alpha = 2022$。由韦达定理可得$\alpha + \beta = -2$。把$\alpha^2 + 3\alpha + \beta$拆成$\alpha^2 + 2\alpha + \alpha + \beta$，代入可得$2022 - 2 = 2020$。
师：所以这道题答案是$B$，做对了吗？
好了，这节课总结一下，今天学习了根与系数的关系，即韦达定理。使用韦达定理的前提是$\Delta\geq0$，这一点很多同学容易丢分，要注意。内容是如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根分别是$x_1$、$x_2$，那么$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。其应用广泛，有一些变形式，如平方和、倒数和、差的绝对值、$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$以及$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$等。以上内容都掌握了吗？可以做一做后面的相关练习。同学们，再见。