师：同学们，前面我们学习了用公式法解一元二次方程，这节课我们将在此基础上，继续探索一元二次方程公式法的相关知识。首先，我们对前一节课的内容做个简单回顾。上节课我们学习了根的判别式，将$b^2 - 4ac$叫做一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的判别式，通常用$\Delta$表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$。
由根的判别式，我们可以判别一元二次方程根的情况：当判别式$\Delta > 0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta < 0$时，一元二次方程没有实数根。这里把$\Delta > 0$和$\Delta = 0$合并，可称为$\Delta \geq 0$。当$\Delta \geq 0$时，我们称一元二次方程有实根或有两个实数根。
上节课我们学习了用根的判别式判定数字系数的一元二次方程根的情况，那么含有字母系数的一元二次方程根的情况该如何判断呢？能不能用一元二次方程根的情况来判断含字母系数的一元二次方程中字母的取值呢？这节课我们就带着这两个问题来学习。
首先，我们来学习利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。例一，关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）中，如果$ac$异号，判断方程根的情况。这里$ac$异号，则$ac$的乘积小于$0$，那么$-ac$就大于$0$。由根的判别式$b^2 - 4ac$可知，无论$b$取何值，$b^2$具有非负性，加上大于$0$的$-4ac$，结果仍然大于$0$，所以方程有两个不相等的实数根。
用上述结论，我们来快速判断上节课中不解方程，用根的判别式判断方程根的情况的问题。例如对于一元二次方程$x^2 + x = 3$根的情况判断：A. 有两个不相等的实数根；B. 有两个相等的实数根；C. 有且只有一个实数根；D. 无实数根。将一元二次方程化为一般形式$x^2 + x - 3 = 0$，可知二次项系数为$1$，一次项系数为$1$，常数项为$-3$。这里$ac$异号，所以$b^2 - 4ac$必然大于$0$，因此方程有两个不相等的实数根，所以选择答案A。
下面我们再来学习将上述题目进行变式。已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx - 1 = 0$，则下列关于该方程根的判断正确的是：A. 有两个不相等的实数根；B. 有两个相等的实数根；C. 没有实数根；D. 实数根的个数与实数$b$的取值有关。这里一次项系数虽然未知，但$a$与$c$取值异号，因此方程根的情况与$b$的取值无关，根的判别式$b^2 - 4ac$恒大于$0$，所以一元二次方程始终有两个不相等的实数根，所以正确答案为A。
下面我们再来学习方程与函数的综合运用。变式二，一次函数$y = kx + b$的图像不经过第二象限，则关于$x$的一元二次方程$x^2 + kx + b = 0$根的情况是：A. 有两个不相等的实数根；B. 有两个相等的实数根；C. 无实数根；D. 无法确定。此一元二次方程中二次项系数为$1$，一次项系数为$k$，常数项为$b$，这里的系数$k$和$b$也出现在了一次函数的解析式中。
由一次函数的图像和性质可知，图像不经过第二象限，则图像经过一、三、四象限或一、三象限，所以$k > 0$，$b \leq 0$。由此我们可以判断一元二次方程根的判别式$k^2 - 4b$恒大于$0$，所以方程有两个不相等的实数根，所以正确答案为A。
接下来我们再来探究一元二次方程与几何图形的综合运用。已知$a$、$b$、$c$分别为$Rt\triangle ABC$中$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边，则关于$x$的一元二次方程$(c + a)x^2 + 2bx + (c - a) = 0$的根的情况是：A. 无实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个相等的实数根；D. 无法判断。
这里一元二次方程中所含字母$a$、$b$、$c$为直角三角形的三边长，且$\angle C = 90^{\circ}$。所以由勾股定理可知三边满足$a^2 + b^2 = c^2$。为了判断所给一元二次方程根的情况，确定此一元二次方程各项系数分别为：二次项系数$c + a$，一次项系数$2b$，常数项为$c - a$。代入根的判别式中计算可得$\Delta = 4b^2 - 4(c + a)(c - a)$，再利用整式的乘法将结果合并成$4(b^2 - c^2 + a^2)$的形式。
由勾股定理所得的$a$、$b$、$c$之间的关系做代入，计算结果等于$0$，所以判断出此一元二次方程有两个相等的实数根，所以选C。
接下来我们再来研究根的判别式的第二个应用：利用一元二次方程根的情况，借助根的判别式来确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围。我们来一起学习。例，$m$取何值时，关于$x$的方程$(2m + 1)x^2 + 4mx + 2m - 3 = 0$有两个不相等的实数根。