师：同学们，大家好。今天我们继续研究二次函数的图像和性质。前面我们已经学习了三类函数图像，现在请大家说出下列函数图像的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况。第一个有两类图像，第二个有四类，第三个同样是四类，大家都能清楚说出它们的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减情况吗？同时，我们还研究了这三类函数图像的平移关系，比如 y = x2 的图像，上下平移可以得到相应函数图像，左右平移也能得到不同函数图像，如果既左右又上下平移，同样能得到特定函数图像。
那这个函数图像可以通过 y = x2 的图像怎样平移得到呢？它又有哪些性质呢？我们来看一个具体问题，请大家画出函数 y = - 1/2(x + 1)2 - 1 的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点。这个问题在课本第 35 页，大家可以翻开课本标记一下。我们先列表，得到对应的函数值： - 5.5、 - 3、 - 1.5、 - 1、 - 1.5、 - 3、 - 5.5 ，接着描点，再用平滑曲线将点连起来，得到这样一个抛物线，它的对称轴是直线 x = -1 。我们发现这个函数图像开口方向向下，对称轴是直线 x = -1 ，顶点坐标是（ - 1， - 1）。那怎样移动抛物线 y = - x2/2 可以得到这个抛物线呢？有两种方法。
先看第一种方法，请看这边的动态展示：我们可以先向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度得到。也就是 y = - x2/2 向下平移一个单位长度，得到 y = - x2/2 - 1 ，再向左平移一个单位长度，就得到我们现在的这个新抛物线。
第二种平移方法，同样请看动态图像：我们先向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，也能得到。即把 y = - x2/2 先向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，就得到了 y = - 1/2(x + 1)2 - 1 的图像。
我们把刚刚的问题总结一下，二次函数 y = x2 与 y = a(x - h)2 + k 的图像之间，可以通过互相平移得到。首先，上下平移得到 y = x2 + k 系列，再左右平移；或者先左右平移，再上下平移。这个规律可以概括为“左加右减自变量，上加下减常数项”。
接着，请大家根据画的图像思考并填写这个表格。都填好了吗？第一个，a 大于 0 时，开口向上；a 小于 0 时，开口向下。对称轴是直线 x = h ，顶点坐标是（h，k）。最值方面，a 大于 0 ，开口向上，抛物线有最低点，函数有最小值，当 x = h 时，y 取得最小值等于 k ；a 小于 0 ，开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当 x = h 时，y 取得最大值等于 k 。增减性呢，和对称轴有关。a 大于 0 时，当 x 小于 h ，y 随 x 增大而减小；当 x 大于 h ，y 随 x 增大而增大。a 小于 0 时，当 x 大于 h ，y 随 x 增大而增大；当 x 小于 h ，y 随 x 增大而减小。同时从 y = a(x - h)2 + k 这个式子中，可以直接看出抛物线的顶点坐标是（h，k），所以通常把它称为二次函数的顶点式。我们对式子中的参数 a、h、k 做个分析，a 决定开口方向和大小，a 大于 0 开口向上，a 小于 0 开口向下，开口大小由 a 的绝对值确定，绝对值越大，开口越小。h 决定对称轴，对称轴是 x = h ，k 决定最值。a 和 h 联合起来决定增减性，在对称轴左右，增减性不同，具体要看 a 大于 0 还是小于 0 。h 和 k 决定顶点坐标。接下来请同学们填一下这个表格，可以暂停视频填写。
都填好了吗？我们看第一个，开口向上，对称轴是直线 x = -3 ，顶点坐标（ - 3，5）；第二个，开口向下，对称轴是直线 x = 1 ，顶点坐标（ - 1， - 2）；第三行，开口向上，对称轴是直线 x = 3 ，顶点坐标（3，7）；最后一行，开口向下，对称轴是直线 x = 2 ，虽然写的是 2 - x ，但不影响，顶点坐标（2， - 6）。都做对了吗？
第二题，对于抛物线给出下列结论，1、2、3、4 这四个结论中正确的有几个？同学们可以暂停思考，也可以画图辅助。都思考好了吗？我们一起分析。第一个，抛物线可由 y = x2/2 先向左平移两个单位，根据“左加右减”口诀，确实是 y = 1/2(x + 2)2 ，然后再向上平移，“上加下减”，所以第一个结论正确。第二个，对称轴是直线 x = 2 吗？不对，应该是 x = - 2 。为什么呢？我们看 y = a(x - h)2 + k 这个式子，这里 x + 2 可以写成 x -（ - 2），所以 h = - 2 ，对称轴是直线 x = - 2 ，大家一定要注意比对。第三个，顶点坐标是（ - 2，3），正确。第四个，考虑增减性，因为对称轴是 x = - 2 ，开口向上，当 x 大于 - 2 时，y 随着 x 的增大而增大，所以第四个也正确。于是，正确的结论有 3 个，即第一个、第三个、第四个，大家都找对了吗？
我们看一道例题，已知抛物线的顶点为（ - 1，2），并且过原点，求抛物线的函数解析式。怎么思考呢？因为顶点为（ - 1，2），所以可以用刚刚讲的顶点式假设解析式。又因为过原点（0，0），所以可以代入求解。我们这样解，因为顶点为（ - 1，2），所以设抛物线的函数解析式为 y = a(x + 1)2 + 2 ，这里注意 h 是 - 1 ，所以是 x + 1 。又因为抛物线经过原点（0，0），将其代入可得 0 = a(0 + 1)2 + 2 ，解得 a = - 2 ，所以抛物线的函数解析式为 y = - 2(x + 1)2 + 2 。
第二个问题，是个实际问题，课本上有。要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安放一根水管，水管顶端安一个向四周喷水的喷头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为 1 米处达到最高，高度为 3 米，水柱落地处离池中心 3 米，问水管应多长？我们把这个实际问题转化为数学问题，画出对应的图像。在池中心 O 有根水管，顶端 A 处是喷头，向四周喷水，我们截取一小段来看。它说在与池中心水平距离 1 米处达到最高，也就是 B 点是最高点。又说水柱落地处离池中心 3 米，即 C 点到池中心距离 OC 为 3 米。题目问水管多长，其实就是求 OA 的长度。我们目前学的知识能解决这个问题吗？对，用二次函数，因为水柱是抛物线形状。我们可以先求出抛物线解析式，进而得到 A 点坐标，水管长度就知道了。怎么求抛物线解析式呢？我们这样建立坐标系，以水管与地面交点 O 为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴建立直角坐标系。因为抛物线顶点 B 坐标是（1，3），所以可设抛物线函数解析式为 y = a(x - 1)2 + 3 ，注意这里 x 的范围是 0 到 3 ，因为是一段抛物线。又因为落地点 C 坐标为（3，0），将其代入解析式可得 0 = a(3 - 1)2 + 3 ，解得 a = - 3/4 ，所以抛物线解析式为 y = - 3/4(x - 1)2 + 3 。当 x = 0 时，y = 2.25 ，这就是 A 点纵坐标，A 点坐标出来了，AO 的长度就是水管长度，即水管长为 2.25 米。