师：上节课我们学习了二次函数的概念，形如(y = ax2 + bx + c)（(a)、(b)、(c)是常数，(a≠0)）的函数就是二次函数。这节课我们来学习二次函数的性质。回忆一下，一次函数形如(y = kx + b)（(k)、(b)是常数，(k≠0)），随着(k)和(b)的变化，一次函数的增减性和图像位置也会改变。在二次函数中有(a)、(b)、(c)三个常数，(a≠0)，(b)和(c)没有限制，也就是说二次函数必须有二次项(ax2)，但可以没有一次项和常数项。所以这节课我们先研究(y = ax2)中(a)对二次函数的影响。
其中最简单的二次函数是(y = x2)，为了研究它的性质，我们从解析式和图像两个角度入手。观察解析式(y = x2)，因为任何数都能进行平方运算，所以(x)可以取全体实数。又因为平方具有非负性，所以(y\geq0)，(y)的取值是所有非负数。当(x = 0)时，(y)取得最小值(0)，由此推测整个函数图像应该在(x)轴及(x)轴上方。
从图像角度研究，需要借助平面直角坐标系，用描点法画图。描点法一般分为三步：列表、描点和连线。
第一步列表，自变量(x)的取值范围是全体实数，我们要选取正数、负数和(0)，这样更具代表性。除(0)外，由于互为相反数的两个数平方相等，不妨取几对互为相反数的数，比如(1)和(-1)、(2)和(-2)、(3)和(-3)。把(x)的值代入解析式算出(y)的值，会发现(x)取(-1)和(1)时，(y)值都是(1)；(x)取(-2)和(2)时，(y)值都是(4)。由此猜测，体现在坐标系中，图像可能关于(y)轴对称，因为符合关于(y)轴对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等。
第二步描点，在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，根据表中(x)和(y)的数值描点，比如(x = -3)，(y = 9)，就描出点(( -3, 9 ))，其他点以此类推。
第三步连线，按照横坐标从小到大，也就是从左到右的顺序，用平滑曲线把这些点顺次连接起来。虽然我们只列出(7)个点的坐标，但(x)取值范围是全体实数，函数图像向两端无限延伸。实际上有限个点只能描出大致图像，为观察细微处图像走势，要描出更多点。当取更多点时，画出的点更密集，无数个点就组成一条平滑曲线。所以用有限个点描绘大致图像时，也要尽量接近这种平滑曲线。
有了图像，来探索二次函数(y = x2)的性质。观察图像，它是一条曲线，类似抛物在空中经过的路线，所以二次函数的图像又叫抛物线。(x)取值关于原点对称时，对应(y)值相同，所以抛物线(y = x2)关于(y)轴对称，这是它的轴对称性质。抛物线(y = x2)与对称轴(x = 0)的交点((0, 0))，叫做抛物线(y = x2)的顶点，它是抛物线的最低点。实际上，二次函数图像都是抛物线，抛物线都关于对称轴对称，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点。
除此之外，二次函数图像还有增减性。回忆研究一次函数图像时有这条重要性质，观察二次函数(y = x2)的图像，在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升。以对称轴为分界线，两边增减性不同，需分开描述。在对称轴左侧(x < 0)时，(y)随(x)增大而减小，用符号语言表示，如果(x? < x? < 0)，则(x?2 > x?2)，即(y? > y?)。在对称轴右侧(x > 0)时，(y)随(x)增大而增大，用符号语言表示，(0 < x? < x?)时，(x?2 < x?2)，所以(y? < y?)。
画出(y = x2)的图像后，下面请同学们和老师一起在同一直角坐标系中画出函数(y = \frac{1}{2}x2)、(y = 2x2)的图像，从列表开始。
先对(y = \frac{1}{2}x2)列表，观察其解析式，要对自变量(x)先平方再乘以(\frac{1}{2})。画(y = x2)图像时已知，列表选取互为相反数的(x)值，平方后值相等，再乘以(\frac{1}{2})后(y)值也相等。注意对于同一个(x)值，(y = \frac{1}{2}x2)的函数值是(y = x2)函数值的(\frac{1}{2})倍。所以列表时，比(y = x2)列表多选取一组(x = ±4)，(x)取值从小到大依次为(-4)、(-3)、(-2)、(-1)、(0)、(1)、(2)、(3)、(4)。再算出每个(x)对应的函数值(y)，写在对应(x)下方，完成(y = \frac{1}{2}x2)的列表。
接着对(y = 2x2)列表，题目要求在同一直角坐标系画(y = \frac{1}{2}x2)和(y = 2x2)的图像。注意对于同一个(x)取值，(y = 2x2)的函数值是(y = \frac{1}{2}x2)函数值的(4)倍。为方便观察，令(y = 2x2)的函数值与(y = \frac{1}{2}x2)的函数值相同，即选取(0)、(0.5)、(2)、(4.5)和(8)。然后对每个函数值(y)，算出相应的自变量(x)的取值，完成(y = 2x2)的列表。
第二步描点，在平面直角坐标系中，以自变量(x)的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，用蓝色点描出(y = \frac{1}{2}x2)列表中的各点，用红色点描出(y = 2x2)列表中的各点。
第三步连线，按照横坐标从小到大顺序，用平滑曲线从左到右顺次连接蓝色各点，得到(y = \frac{1}{2}x2)的图像（蓝色抛物线）；再用平滑曲线从左到右连接红色各点，得到(y = 2x2)的图像（红色抛物线）。把(y = x2)的图像也添加到这个平面直角坐标系中。
根据这三个函数的图像，来看第一个问题：函数(y = \frac{1}{2}x2)、(y = 2x2)的图像与函数(y = x2)的图像相比，有什么共同点和不同点？
同学们发现这三条抛物线开口方向都向上，顶点都是坐标原点((0, 0))，也是三条抛物线的最低点，对称轴都是(y)轴。从图像看出，当(x = 0)时，这三个二次函数最小值都为(y = 0)。在对称轴左侧，抛物线都从左到右下降；在对称轴右侧，抛物线都从左到右上升。即当(x < 0)时，(y)随(x)增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)增大而增大。不同的是三条抛物线开口大小不一样，抛物线从蓝色到黑色再到红色，二次项系数分别是(\frac{1}{2})、(1)和(2)，开口大小依次变小。所以当二次项系数(a > 0)时，(a)的值越大，抛物线(y = ax2)的开口越小。
下面请同学们思考，当(a > 0)时，二次函数(y = ax2)的图像有什么特点？
我们从(a > 0)小于(1)（(y = \frac{1}{2}x2)）、(a = 1)（(y = x2)）、(a > 1)（(y = 2x2)）这三类情况考虑，总结出二次函数(y = ax2)，当(a > 0)时，图像是开口向上的抛物线，对称轴是(y)轴（或称为直线(x = 0)），顶点是坐标原点((0, 0))，它是抛物线最低点。且(a)越大，开口越小。当(x = 0)时，(y)取得最小值(y = 0)。在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，即(x < 0)时，(y)随(x)增大而减小；(x > 0)时，(y)随(x)增大而增大。
刚才学习了(y = ax2)（(a > 0)）的图像和性质，下面请同学们利用描点法画图探究(y = ax2)（(a < 0)）的图像和性质。首先在同一平面直角坐标系中画出(y = -x2)、(y = -\frac{1}{2}x2)、(y = -2x2)的图像，并思考两个问题：一是这些抛物线有什么共同点和不同点；二是当(a < 0)时，二次函数(y = ax2)的图像有什么特点？请同学们按下暂停键，类比画(y = ax2)（(a > 0)）图像的经验，独立完成列表、描点、连线。
相信同学们都完成了图像绘制。根据画出的三条抛物线，回答第一个问题：函数(y = -x2)、(y = -\frac{1}{2}x2)、(y = -2x2)的图像有什么共同点和不同点？
我们发现这三条抛物线开口方向都向下，顶点都是坐标原点((0, 0))，是三条抛物线的最高点，对称轴都是(y)轴。从图像看出，当(x = 0)时，这三个二次函数取得最大值(y = 0)。在对称轴左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴右侧，抛物线从左到右下降，即当(x < 0)时，(y)随(x)增大而增大；当(x > 0)时，(y)随(x)增大而减小。这三条抛物线开口大小不同，抛物线从蓝色到黑色再到红色，二次项系数分别是(-\frac{1}{2})、(-1)和(-2)，开口大小依次变小。所以当(a < 0)时，(a)的值越小，抛物线开口越小。
总结当(a < 0)时，二次函数(y = ax2)的图像特点：它是开口向下的抛物线，对称轴是(y)轴（或直线(x = 0)），顶点坐标是原点((0, 0))，是抛物线最高点。当(a < 0)时，(a)越小，开口越小。当(x = 0)时，(y)取得最大值(y = 0)。在对称轴左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴右侧，抛物线从左到右下降，即(x < 0)时，(y)随(x)增大而增大；(x > 0)时，(y)随(x)增大而减小。
这节课我们探究了(y = ax2)（(a > 0)和(a < 0)）的图像和性质，下面用列表形式总结二次函数(y = ax2)的图像和性质。
先画出(y = ax2)（(a > 0)）和(y = ax2)（(a < 0)）的图像示意图，从图中看出，当(a > 0)时，抛物线(y = ax2)开口向上；当(a < 0)时，抛物线(y = ax2)开口向下。前面得出当(a > 0)时，(a)越大，开口越小；当(a < 0)时，(a)越小，开口越小。合为一句话：当(\vert a\vert)越大时，抛物线(y = ax2)的开口越小。抛物线(y = ax2)的对称轴是(y)轴，顶点坐标是原点((0, 0))。不同的是，当(a > 0)时，原点((0, 0))是抛物线最低点；当(a < 0)时，原点((0, 0))是抛物线最高点。所以二次函数(y = ax2)一定会取到最值，当(a > 0)时，(y)有最小值；当(a < 0)时，(y)有最大值。
再看增减性，当(a > 0)时，(x < 0)，(y)随(x)增大而减小；(x > 0)，(y)随(x)增大而增大。当(a < 0)时，增减性与(a > 0)时相反，即(x < 0)，(y)随(x)增大而增大；(x > 0)，(y)随(x)增大而减小。
下面请同学们利用今天所学做例题。
例一：
（1）函数解析式是(y = 2x2)，二次项系数(a = 2 > 0)，满足(y = ax2)（(a > 0)）的图像和性质。所以抛物线(y = 2x2)开口向上，对称轴是(y)轴，顶点坐标是((0, 0))。当(x < 0)时，(y)随(x)增大而减小。
（2）函数(y = -3x2)，二次项系数(a = -3 < 0)，满足(y = ax2)（(a < 0)）的图像和性质。所以函数(y = -3x2)的图像开口向下，对称轴是(y)轴，顶点坐标是((0, 0))。当(x > 0)时，(y)随(x)增大而减小。
例二：已知抛物线(y = x2)，当(-2 < x < 1)时，求(y)的取值范围。有的同学可能直接把(x = -2)和(1)代入解析式，但这样求出来的不是这段对应的(y)取值范围。因为二次函数(y = x2)图像的增减性在对称轴两侧发生变化，(-2)和(1)恰好在(0)两侧，不能单纯代入端点值。观察图像可知，当(x)取值在(-2)到(1)时，(y)的最小值对应这段函数最低点，(y)值为(0)；这段图像最高点是(x = -2)时对应的(y)值，为(4)。所以(-2 < x < 1)时，(y)的取值范围是(0\leq y < 4)。左边是小于等于，因为能取到(y = 0)的点；右边不能加等号，因为(x)不能等于(-2)，所以(y)不能等于(4)，是严格小于号。
下面进行课堂小结。
这节课我们通过描点法画出二次函数(y = ax2)的图像，其图像类似抛物在空中经过的路线，所以叫抛物线。重点关注二次函数(y = x2)性质的四个方面：开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、增减性。以上就是今天的内容，同学们再见。