师：同学们好，今天我们一起继续探究实际问题和二次函数的第三种类型——建立直角坐标系解决实际问题。首先复习相关知识点，需要时可按下暂停键。
先梳理函数$y = ax^2$（$a≠0$）的知识，它的图像是抛物线，顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴。当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下。
在本章学习中，我们还学了二次函数解析式的几种形式。第一种是一般式$y = ax^2 + bx + c$，这里要求$a≠0$；第二种是顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，同样要求$a≠0$，其中$(h,k)$表示顶点；第三种是交点式$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，$x_1$和$x_2$分别是二次函数对应的抛物线与$x$轴两个交点的横坐标。
来看这道题，如图所示抛物线，因为顶点是$(0,2)$，所以可设解析式为$y = ax^2 + 2$。又因为抛物线与$x$轴交点是$(-2,0)$和$(2,0)$，根据交点式还可设为$y = a(x + 2)(x - 2)$。角度不同，所用解析式也不同。
再观察，$A$点坐标$(-2,0)$，$B$点坐标$(2,0)$，那么线段$AB$的长怎么求呢？用$B$点横坐标$2$减去$A$点横坐标$-2$，就得到$AB$长度为$4$。
回顾上节课解决实际问题，除了这些知识，还用到了什么？又该注意哪些问题？利用抛物线顶点可能是最高点或最低点，能解决常见最值问题。用二次函数知识解决实际问题的解题思路是：将实际问题转化为数学问题，根据等量关系列出二次函数解析式，并根据自变量实际意义确定取值范围，在这个范围内求二次函数的最大值或最小值。
来看下面这个问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面$2$米时，水面宽$4$米。当水面下降$1$米时，水面宽度会增加多少？
求宽度增加多少，需要什么数据呢？需要知道下降后水面的宽度，而表示水面宽的线段端点在抛物线上。那怎么求这组数据？要先求抛物线对应的解析式。题目中告诉我们拱顶离水面$2$米，水面宽$4$米，水面下降$1$米，这些数据有什么帮助？怎么求抛物线函数解析式呢？
首先要建立适当坐标系。怎么建立呢？可以以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为$y$轴建立直角坐标系。假设这条抛物线表示的二次函数为$y = ax^2$，为什么能设成这种形式呢？因为顶点是原点。此时需要知道抛物线上一个点的坐标，因为抛物线经过$(2,-2)$这个点，所以把$(2,-2)$代入二次函数解析式，得到$-2 = a×2^2$，解这个方程可得$a = -\frac{1}{2}$。
那么这条抛物线所表示的二次函数就是$y = -\frac{1}{2}x^2$。求出解析式后，怎么解决问题呢？当水面下降$1$米，意味着什么？此时水面纵坐标由$-2$变成了$-3$。把$y = -3$代入解析式，求出此时抛物线上两个点对应的横坐标为$\sqrt{6}$和$-\sqrt{6}$。这就说明当水面下降$1$米时，水面宽度是$\sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$。现在能求出水面宽度增加了多少吗？没错，是$2\sqrt{6} - 4$。
如果把离拱顶$2$米时的水面看成$x$轴，同样以抛物线对称轴为$y$轴建立坐标系，抛物线解析式就不一样了。这时抛物线表示的二次函数为$y = ax^2 + 2$，因为此时顶点是$(0,2)$。怎么求$a$呢？因为抛物线经过$(2,0)$，把$(2,0)$代入解析式，$0 = a×2^2 + 2$，解得$a = -\frac{1}{2}$。此时的$a$和刚才解析式中的$a$一样，那么这条抛物线可表示成$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$。
同学们想一想，为什么这次解析式和刚才不同呢？原因就是建立的直角坐标系不同。那这样的解析式带来的结果一样吗？当水面下降$1$米时，水面纵坐标在这个坐标系里表示为$-1$。把$y = -1$代入解析式，求出对应的横坐标分别为$\sqrt{6}$和$-\sqrt{6}$，也就是说，当水面下降$1$米时，水面宽度为$2\sqrt{6}$米，同样可得出水面宽度增加了$2\sqrt{6} - 4$米。我们可以以最高点建立直角坐标系，也可以以水面为$x$轴建立坐标系，大家还有其他方法吗？如果改变坐标系位置，不妨尝试一下，看看答案是否相同。
归纳一下刚才的拱桥类问题，一般知道拱高和拱长时，可以根据抛物线对称性建立以对称轴为$y$轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系确定抛物线上一些点的坐标。如果顶点在原点，一般设二次函数解析式为$y = ax^2$（$a≠0$）；如果顶点不在原点，也可设二次函数解析式为$y = ax^2 + k$（$a≠0$）。