师：同学们好，今天上课的内容是人教版九年级上册第22章二次函数第三节实际问题与二次函数的第一课时。首先我们来看一个问题：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h与小球的运动时间t之间的关系是(h = 30t - 5t^{2})，(t\geq0)且(t\leq6)。小球运动时间是多少时，小球达到最高？小球运动中的最大高度是多少？
这个问题，其实就是要求出(t)为何值时(h)取最大值。我们可以利用函数图像来解决。可以看出这个函数的图像是抛物线的一部分，这条抛物线的顶点就是函数图像的最高点。也就是说，当(t)取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。
大家回顾思考下，如何求出二次函数(y = ax^{2} + bx + c)的最值呢？当(a > 0)时，抛物线开口向上，有最低点。此时，当(x = -\frac{b}{2a})时，二次函数有最小值(y = \frac{4ac - b^{2}}{4a})。反之，当(a < 0)时，开口向下，抛物线有最高点，也就是有最大值(\frac{4ac - b^{2}}{4a})。
现在我们来解决前面的问题，只要我们求出顶点坐标就可以了。利用公式算出(t = 3)，(h = 45)。即小球运动的时间是3秒时，小球最高，小球运动中的最大高度是45米。
下面我们来看这一个例题：用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积(s)随矩形一边长(l)的变化而变化。当(l)是多少时，场地的面积(s)最大？
首先，矩形面积公式是什么？对，是长乘以宽。一边为(l)，如何用(l)表示另一边呢？对，(60\div2 - l)，也就是(30 - l)。第三步，面积(s)的函数关系式是什么呢？用(l)乘以(30 - l)，两个一次式相乘可以得到二次式，因此我们可以得到(s)关于(l)的二次函数。此时(l > 0)且(l < 30)，请大家注意。
我们可以先画出函数图像，再利用公式求得。当(l = 15)的时候，(s)有最大值，(s)的最大值是225。除了用公式，我们也可以把(l = 15)代入原来的函数解析式当中，那么(s = 15×(30 - 15))同样等于225。也就是说，当(l)是15米时，它的面积最大是225平方米。
通过一般化的证明，我们可以得到这样的结论：如果矩形周长确定，那么当长宽相等时，它的面积最大。
变式一：如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32米，这个矩形的长宽各为多少时，菜园的面积最大？面积是多少？
首先，变式一与例题有什么不同？对，多了一个条件，墙长32米。第二，我们可以设面积为(s)，那么如何设自变量呢？我们可以设垂直于墙的边长为(x)米，那么与墙平行的一边就应该是(60 - 2x)。第三步，那么面积(s)的函数关系式很容易列出来，就是(s = x×(60 - 2x))。如何求解自变量(x)的取值范围？墙长32米对此题有什么作用呢？同学们请思考一下。
对，32米对自变量(x)的取值范围有所限制。由图可以看出，(60 - 2x)应该大于0且小于等于32，求得(x\geq14)且(x < 30)。第五步，如何在(x)的取值范围的基础上求得最值？我们可以将原来的函数解析式进行整理配方。我们发现对称轴是(x = 15)，在(14)到(30)之间，也就是说最值仍在顶点处取得。即当(x = 15)米时，矩形的面积最大是450平方米，此时的长是30米，宽是15米。
变式二：如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？面积是多少？变式二与变式一有什么异同？对，仅仅是将墙长32米改为墙长18米，能靠的墙变短了。那对这个题目有什么样的影响呢？同学们可否模仿变式一设未知数列函数关系式呢？当然可以。那我们能不能够试设与墙平行的一边为(x)米？那么如何表示另一边与面积呢？与墙平行的一边如果为(x)的话，那么与墙垂直的一边就应该是((60\div2 - x))。相邻两边都已经用含(x)的代数式表示，好，那么我们的面积(s)就是这两个代数式相乘。
我们将这个函数解析式进行整理配方，得到(s = -\frac{1}{2}×(x - 30)^{2} + 450)，同学们能不能求出(s)的最大值？是不是(x = 30)的时候(s)的面积最大？此结论是否正确？有同学说不正确，回答得很好，因为我们的(x)根本就不能够等于30，那么(x)的取值范围到底是多少呢？显而易见，(x)的取值范围是(x > 0)且(x\leq18)，也就是说这个二次函数需要在(x > 0)且(x\leq18)的基础上去讨论它的最值。同学们思考一下如何求出最大值？
我们不妨借助图像，首先画出二次函数的图像。开口向下，对称轴是(x = 30)。但是我们现在的图像不是完整的一条抛物线，而是(x > 0)且(x\leq18)这部分函数图像。那么根据函数的增减性，大家能清楚地看到在何处取得最大值。当(x = 18)的时候，二次函数取得最大值378。也就是说，当这个长方形的长为21米，宽为18米的时候，面积最大为378平方米。
通过上面一系列的探究，同学们可以总结下二次函数解决几何面积最值问题的方法。首先，利用面积关系列出函数解析式。第二，在实际问题当中一定要关注自变量的取值范围。第三，可以利用公式或者配方法、顶点式求出函数的最值。第四，注意，当自变量的取值不包含顶点时，函数的最值一般在端点处取得，此时要考虑函数的增减性，我们可以画图，这样可以更加直观。
现在我们来看一组练习。第一题，用一条长为40厘米的绳子围成一个面积为(s)平方厘米的矩形，(s)的值不可能为下列哪一项？由前面的探究，咱们知道一个矩形的周长为定值，那么当它是一个正方形的时候，面积最大。这一题同学们口算就可以，当边长为10的时候，面积最大为100。所以选项D为120，大于100，绝不可能。同学们做得很好。第二题，已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大值是多少？同学们思考下。
可以设一条直角边为(x)，则另一条直角边为(8 - x)。所以(s = \frac{1}{2}x×(8 - x))。进行整理配方，或者利用公式得到当(x = 4)。也就是说一边长为4，另外一边长也为4的时候，这个直角三角形的面积最大为8。
同学们有没有想过，这两个题目本质上是完全一样的？第一题是当正方形的时候面积最大，第二题的时候是当它是等腰直角三角形的时候面积最大。下一次我们遇到这样的小题目的话，是不是直接可以报出答案？第三，如图，在三角形(ABC)中，(\angle B = 90^{\circ})，(AB = 12)厘米，(BC = 24)厘米。动点(P)从点(A)开始，沿(AB)向(B)以每秒2厘米的速度移动，不与点(B)重合。动点(Q)从点(B)开始，沿(BC)向(C)以每秒4厘米的速度移动，不与点(C)重合。如果(P)、(Q)分别从(A)、(B)同时出发，那么经过几秒，四边形(APQC)面积最小？这是一个动点问题。
面积最终涉及到一些线段的长度。我们可以假设经过(t)秒，用含(t)的代数式表示出一些重要的线段。首先，(AP = 2t)，(BQ = 4t)，(PB = 12 - 2t)。接下来我们计算四边形的面积，可以用两个三角形的面积之差去表示，进行进一步的整理，我们容易得到当(t = 3)秒的时候，该四边形的面积最小，你们做对了吗？
第四题，用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框，窗框的高和宽各为多少时，它的透光面积最大？面积是多少？
我们可以假设窗框的宽为(x)，它有三个宽，所以窗框的高也就是((6\div2 - 3x))。可以设透光面积为(y)。那么(y)就可以用宽和高相乘。所以(y = x×(6\div2 - 3x))。函数解析式已经写出来，那么(x)的取值范围，我们知道这个高(6\div2 - 3x)也是大于0的，即(x > 0)且高大于0，因此可以求得(x)的取值范围是大于0且小于2。我们继续将解析式进行整理配方，可以得到当(x = 1)的时候，(y)取最大值，(x = 1)也满足在(0)到(2)之间，所以最大透光面积(y)的最大值是(1.5)，也就是当宽为1米，高为1.5米时，最大面积是(1.5)平方米。
我们现在将今天的这节课进行小结。几何面积最值问题，一个关键是要依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式。一个注意，要注意最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定。
今天的作业：第一项必做题，课本第51 - 52页习题22.3第一、三、六题。第二题选做题思考：某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留一米宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27米，则能建成的饲养室面积最大为多少平方米？请同学们思考。
好，今天的课就到这里，有关二次函数的其他极值问题的应用，我们下个课时再见。