师：大家好，今天我们来学习初中数学人民教育出版社九年级上册第24章圆第2.1.4圆周角的第一课时。在前面有关圆的性质学习中，我们已经知道了什么叫做圆心角。同学们先回顾一下，什么样的角叫圆心角？
生：顶点在圆心的角叫做圆心角。
师：非常好。那么在圆中除了圆心角之外，还有没有其他类型的角呢？比如说，在这个图中，我在圆上任意取一个点C，保证C点和A点、B点位置不同，连接BC、AC，就得到一个新的角∠C 。大家观察一下，这个角有什么位置特点？
生：C点在圆上，∠C的两条边CA和CB与圆相交于A点和B点。
师：没错，通过它的特点，我们可以得出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。下面来看这6个题目，哪些角是圆周角，哪些不是呢？先看第一个图，∠BAC，A点在圆上，且AB和AC与圆交于B点和C点，符合圆周角的定义，所以它是圆周角。再看第二个图，同学们思考一下，这个图中的角是不是圆周角？
生：图中∠BAC的A点在圆内，虽然AB和AC与圆相交，但不符合圆周角顶点在圆上的定义，所以不是圆周角。
师：很好。再看第三个图呢？
生：第三个图中A点在圆上，AB和圆相交，但AC并不和圆相交，不符合圆周角定义，所以也不是。
师：对。那第四个图呢？
生：第四个图A点在圆外，虽然AB和AC与圆相交，但不满足圆周角顶点在圆上的条件，所以不正确。
师：没错。看第五个图呢？
生：第五个图A点在圆上，且AB和AC与圆相交，符合圆周角定义，所以是圆周角。
师：非常好。那第六个图呢？
生：第六个图A点在圆上，角的两条边与圆相交，符合圆周角定义，也是圆周角。
师：所以，∠BAC为圆周角的是第一个、第五个和第六个图。接下来，分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，大家有什么发现？
生：用量角器度量后，∠AOB等于74度，∠C等于37度。
师：这两个角有什么大小关系呢？∠AOB和∠ACB都是弧AB所对的圆心角和圆周角，所对的弧相同。通过观察，大家能发现什么？
生：∠AOB是∠ACB的2倍，或者说∠ACB是∠AOB的1/2。
师：那我们能不能猜想出一个结论呢？
生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角一半。
师：这只是我们的猜想，不一定正确，还需要进行严格的证明。那如何证明呢？弧AB所对的圆心角只有∠AOB一个，因为整个圆只有一个圆心。但弧AB所对的圆周角可以画几个呢？
生：可以画无数个。比如在圆上再找不同的点C′、C″，连接相关线段后，∠C′、∠C″也是弧AB所对的圆周角。
师：观察这些圆周角顶点C、C′、C″与点O的位置关系是怎样的？
生：对于∠C，O点在∠C内部；对于∠C′，O点刚好在∠C′的一条边上；对于∠C″，O点在∠C″的外面。
师：现在我们分三种情况来证明。先看最简单的一种，当圆心O在圆周角∠ACB的边BC上时，能不能证明∠C等于1/2的∠AOB ？大家先分析一下思路。
生：在圆中半径相等，所以△OAC是等腰三角形，可得∠A = ∠C。又因为∠AOB是△OAC的外角，等于不相邻的两个内角和，所以可以证明出来。
师：看解题过程，因为OA = OC，所以∠A = ∠C。又因为∠AOB = ∠A + ∠C，所以∠AOB = 2∠C，即∠C = 1/2∠AOB 。第一种情况证明了弧AB所对的圆周角等于圆心角的1/2。再看第二种情况，当圆心O在圆周角∠ACB的内部时，怎么证明∠C等于1/2的∠AOB ？能不能把这个图转化成刚才证明的第一个图形？
生：要做辅助线，连接CO并延长交圆O于点D。
师：很好。根据刚才的结论，对于弧AD，圆周角是∠ACD，圆心角是∠AOD，且O点在圆周角∠ACD的一条边CD上，可得∠ACD = 1/2∠AOD 。同样，对于弧BD，圆周角是∠BCD，圆心角是∠BOD，且圆心O在圆周角∠BCD的一条边CD上，可得∠BCD = 1/2∠BOD 。现在要研究∠ACB和∠AOB的关系，该怎么做？
生：把这两个等式左边与左边相加，右边与右边相加。因为∠ACD + ∠BCD = 1/2∠AOD + 1/2∠BOD，所以∠ACB = 1/2∠AOB 。
师：因此，同样可得出弧AB所对的圆周角∠ACB等于它的圆心角∠AOB的1/2。再看第三种情况，当圆心角在圆周角∠ACB的外部时，能不能说明∠C是∠AOB的1/2 ？能不能把这个图形也转化成第一个图形？
生：仿照刚才的方法，连接CO并延长交于点D。
师：对。现在需要研究哪些弧呢？
生：弧AD所对的圆周角∠ACD等于它所对的圆心角∠AOD的1/2，因为圆心在圆周角∠ACD的一条边CD上。还需要研究弧BD所对的圆周角∠BCD等于1/2的∠BOD 。
师：这两个式子进行减法运算，能得到什么？
生：因为∠BCD - ∠ACD = 1/2∠BOD - 1/2∠AOD，所以∠ACB = 1/2∠AOB 。