师：同学们好，很高兴和大家一起开始今天的数学学习。请准备好纸和笔，今天我们学习初中数学人教版九年级上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系的第五课时。请看学习目标：一、了解切线长的定义及切线长定理，能运用切线长定理进行简单的计算与证明；二、会作一个三角形的内切圆。
师：请同学们思考，过圆外一点作圆O的切线可以做几条？试着在纸上画一画。
生：（动手画图）
师：过圆外一点P可以作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B。我们先来了解一下切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长，也就是图中PA、PB的长度。同学们要注意切线与切线长的区别。切线是一条与圆相切的直线，而切线长是切线上一条线段的长，即切线上某一点与切点之间的线段长。接下来请同学们思考，若从圆外的一点引两条切线PA、PB，切点分别是A、B，连接OP，则PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？并证明你所发现的结论。同学们可以先猜想一下PA与PB，∠APO与∠BPO的关系。
生：猜想PA = PB，∠APO = ∠BPO。
师：是的，同学们也可以用刻度尺和量角器测量验证一下，我们也可以用几何画板来验证。请看，当P点位置发生变化，圆的半径也随之变化，在变化过程当中，PA、PB，∠APO、∠BPO都在变化，但是在变化过程中，PA和PB的长度、∠APO和∠BPO的度数始终相等。由此我们也验证出PA = PB，∠APO = ∠BPO。对于几何命题，我们猜想验证并不能作为依据，还需要通过推理证明才能说明命题正确。同学们请按下暂停键思考并写出证明过程。
师：我们一起来分析一下证明思路。我们知道由三角形全等可以得出对应线段、对应角相等。根据切线的性质定理，连接过切点的半径可得OA⊥PA、OB⊥PB。利用HL可以得到Rt△AOP≌Rt△BOP，即可得证。
师：证明：连接OA、OB，因为PA、PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB。因为OA = OB，OP = OP，所以Rt△AOP≌Rt△BOP，所以PA = PB，∠APO = ∠BPO。
师：同学们，我们通过猜想验证、证明得出命题正确。这就是切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。其实我们也可以利用圆是轴对称图形得出PA = PB，∠APO = ∠BPO。数学语言表示为：因为PA、PB是圆O的切线，所以PA = PB，∠APO = ∠BPO。请看下面一题。如图，PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于点D，交圆O于点E。1. 写出图中所有的垂直关系；2. 写出图中与∠OAB相等的角；3. 写出图中所有的全等三角形。请同学们按下暂停键思考并写下结果。
生：（思考并书写）
师：第一小题垂直关系有OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP，你们能说出理由吗？
生：由切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，所以OA⊥PA，OB⊥PB。由切线长定理可知，PA = PB，半径OA = OB，所以OP是线段AB的垂直平分线，所以AB⊥OP。
师：第二小题与∠OAB相等的角有∠OBA、∠APO、∠BPO。理由是因为OA = OB，所以∠OBA = ∠OAB。由OA⊥OP知∠OAB + ∠PAD = 90°，由AB⊥OP得∠APO + ∠PAD = 90°，所以∠APO = ∠OAB。由切线段定理知，∠APO = ∠BPO，所以∠BPO = ∠APO = ∠OAB = ∠OBA。
师：第三小题图中的全等三角形有△AOP≌△BOP、△AOD≌△BOD、△ADP≌△BDP。由第一小题的结论可知，这6个三角形都是直角三角形。因为OA = OB，OP = OP，所以Rt△AOP≌Rt△BOP；由PA = PB，PD = PD，得Rt△ADP≌Rt△BDP；由OA = OB，OD = OD得Rt△AOD≌Rt△BOD。其实我们还可以得出弧AE等于弧BE。大家记住这个图形可以方便我们后面的解题。再来看下一题，如图，PA、PB是圆O的两条切线，A、B是切点，OA = 3。第一小题，若AP = 4，则OP等于多少？若∠BPA = 60°，则OP等于多少呢？请同学们按下暂停键写出答案。
生：（思考并书写）
师：因为PA是圆O的切线，所以OA⊥PA，那么△OAP为直角三角形。根据勾股定理，OA2 + AP2 = OP2，可求出OP = 5。第二小题，因为PA、PB是圆O的两条切线，根据切线段定理可知∠APO = 1/2∠APB = 30°。在Rt△AOP中，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，所以OP = 2倍的OA = 6，同学们，你们做对了吗？由刚刚的练习我们发现切线长定理为证明线段、角、弧相等以及垂直关系提供了一种新的方法和思路。同学们思考下面这个实际问题，一块三角形的铁皮如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切。同学们，我们都知道确定圆心和半径是解决这一题的关键。假设这个圆已做好，那么圆心应满足什么条件？