师：同学们好，欢迎来到课堂，请准备好纸笔、尺子和圆规。今天我们学习第二十四章“圆”相关内容。通过之前的学习，大家对圆已经比较熟悉，八年级时也认识了正多边形，那这两者之间有什么联系呢？今天咱们就一起来探索。
首先，观察与思考，请大家看屏幕上这些美丽的图案，想一想它们是由哪些图形构成的？
生：第一幅螺帽图，有圆和正六边形；第二幅图有正三角形、正方形、正六边形；第三幅伞图有正八边形；第四幅图有圆；第五幅图有正五边形、正六边形。
师：同学们观察得很仔细，那你们还能举出一些例子吗？相信从身边物品和看过的图片中能找到不少。下面老师考考大家的记忆力。
师：一、n边形的内角和是多少？
生：（n - 2）×180度。
师：二、n边形的外角和呢？
生：360度。
师：三、什么样的图形是正多边形？
生：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
师：这里一定要强调各边相等且各角相等。不信来看这个题目，菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
生：不是。
师：为什么呢？
生：菱形不满足各角相等，矩形不满足各边相等，所以它们都不是正多边形。
师：因此，同学们一定要记住正多边形的定义。大家都回忆起正多边形的有关概念了。其实正多边形和刚学的圆关系密切。只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这是为什么呢？大家思考一下。
生：思考完毕。
师：对了，由弧、弦、圆周角关系定理可知，弧相等所对的弦相等，也就是多边形的边相等；弧相等所对的圆周角相等，也就是多边形的角相等，从而得出此多边形是正多边形。同学们思路很清晰，我们一起来用这个思路证明一下。思考如何证明将一个圆分成五等分，依次连接各分点，可得到一个正五边形。请同学们在纸上写出证明过程。
生：写好证明过程。
师：我们一起来看这位同学的证明过程。证明：因为弧AB = 弧BC = 弧CD = 弧DE = 弧EA，所以AB = BC = CD = DE = EA。这里的依据是什么？
生：同圆中相等的弧所对的弦相等。
师：因为弧BCE = 弧CDA = 3倍弧AB，所以∠1 = ∠2。这又是为什么呢？
生：同圆中相等的弧所对的圆周角相等。同理，∠2 = ∠3 = ∠4 = ∠5。
师：又因为顶点A、B、C、D、E都在圆O上，所以五边形ABCDE是圆O的内接正五边形。你证对了吗？如果证对了，给自己点个赞。由此我们得出正多边形和圆的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形。下面请同学们把课本翻到105页，自学圆内接正多边形的有关概念并划线。
生：自学完毕。
师：时间到，通过自学你知道了哪些概念？
生：正多边形的中心，是正多边形外接圆的圆心，如图中的点O；正多边形的半径，是外接圆的半径，如图OC是半径r；连接OE可得正多边形中心角，正多边形每一条边所对的圆心角，如图∠EOF是中心角；过O点作弦AB的垂线段，是正多边形的边心距，即中心到正多边形一边的距离。
师：在实际应用中遇到圆内接正多边形题型时，我们通常这样做。先求出特殊正多边形的中心角，即正多边形的边所对的圆心角度数，然后过O点作AB的边心距OG，把△AOB分成两个全等的直角三角形。设正n边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则它们的关系是什么？正n边形的周长l为多少呢？
生：根据勾股定理，可得((\frac{a}{2})^2 + r^2 = R^2)。因为周长是所有边长的和，所以周长l = a×n。
师：下面我们来完成表格。正三角形就是等边三角形，内角和是多少？
生：180度。
师：所以每个内角呢？
生：180度÷3 = 60度。
师：中心角是？
生：360度÷3 = 120度。
师：我们知道任何一个多边形的外角和是360度，所以等边三角形的外角是？
生：360度÷3 = 120度，或者用180度 - 内角60度 = 120度。
师：正四边形就是正方形，内角和是？
生：360度。
师：每个内角呢？
生：360度÷4 = 90度。
师：中心角是？
生：360度÷4 = 90度。
师：外角是？
生：360度÷4 = 90度。
师：要求正六边形的每个内角是多少，我们先算正六边形的内角和。
生：用(6 - 2)×180度 = 720度，再将720度÷6 = 120度。
师：中心角是？
生：360度÷6 = 60度。
师：外角是？
生：360度÷6 = 60度。
师：那么正n边形的内角和是？
生：(n - 2)×180度÷n。
师：中心角是？
生：360度÷n。
师：那么外角呢？
生：360度÷n。
师：通过表格你能得出什么结论？
生：正多边形的中心角等于外角。
师：下面我们一起来看这个例题。有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形，求地基的周长和面积。我们来一起分析一下，这个例题给出的是实物图，从题目条件和问题来看，是针对亭子地基的，所以我们应该将地基抽象成几何图形——正六边形。画出圆内接正六边形，已知正六边形的半径是4米，即OB = OC = 4米。那么如何求出这个正六边形的周长和面积呢？请同学们在纸上算一算。