师：同学们好，欢迎走进数学课堂。今天我们一起学习初中数学人教版九年级上册第25章第三节“用频率估计概率”第一课时。请大家课前准备好两份实验数据：一是抛掷一枚质地均匀的硬币400次；二是抛掷一枚图钉400次。准备好了吗？下面开始上课。请用学过的知识回答几个问题。
问题一：抛掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后会出现哪些可能的结果？
生：会出现正面向上、反面向上。
问题二：它们的概率分别是多少呢？
生：用前面学过的列举法，我们知道正面向上、反面向上的概率都是0.5。
问题三：抛10次硬币一定会有5次正面向上吗？
生：通过实践我们知道不一定。
师：针对问题三，我们可以用试验进行检验。下面进行抛掷一枚质地均匀硬币的实验。首先要收集和整理数据。我把全班同学分成8组，每组同学抛硬币50次。整理同学们的试验数据，并完成下表。第一组的数据填在第一列，第一、二两组数据之和填在第2列，以此类推，8组数据之和填在第8列。在抛掷硬币n次时出现m次正面向上，则称比值m:n为正面向上的频率。表格数据填写如下。
同学们，你们是不是发现自己的试验数据和老师的不太一样？这说明了什么？
生：说明试验数据是随机的，受试验人、试验环境等因素的影响，试验前无法确定。
师：我们要做的是在不同的实验数据中能否得出相同的结论。让我们继续进行试验探究。为了更直观地了解数据的变化趋势，可以用统计图来进行描述。根据上表的数据，在下图中画统计图表示正面向上的频率，横轴代表抛掷次数，纵轴代表正面向上的频率。在图中标注出对应的点，画出折线统计图。
在上图中用蓝笔画出表示频率为0.5的直线。请同学们根据试验所得数据想一想，正面向上的频率有什么规律？
生：随着试验次数越多，正面向上的频率越接近0.5，即频率呈现出一定的稳定性。
师：恭喜你，如果有些同学还没有得出规律，请再增加抛掷的次数试一试。下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？表格中我们发现随着实验次数的增多，正面向上的频率越接近0.5，呈现稳定性。所以支持我们的规律。下表中试验者包括法国数学家棣莫弗、法国博物学家布封、美国数学家费泰勒、英国数学家皮尔逊。抛掷次数从2048次到24000次，得出正面向上的频率从0.5181到0.5005。试验数据绝对支持我们发现的规律。在重复抛掷一枚硬币时，正面向上的频率在0.5附近摆动。一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性，在0.5附近摆动的幅度会越来越小。这时我们称正面向上的频率稳定于0.5，它与前面用列举法得出的正面向上的概率是同一个数值。因为抛掷一枚硬币不是正面向上就是反面向上，所以当正面向上的频率稳定在0.5时，我们可以得出反面向上的频率也稳定在0.5，它也与用列举法得出的反面向上的概率是同一个数值。这说明随着抛掷次数的增加，可以用稳定的频率来估计事件的概率。
下面我们一起来归纳总结频率与概率的区别与联系。频率是指每一个考察对象出现的次数与总次数的比值，计算方法为频率 = 频数÷数据总数。其中频数指的就是考察对象出现的次数。频率是随机的，与试验次数、试验人等因素有关，在试验之前无法确定。而概率是刻画某事件发生的可能性大小的数值，其中等可能事件的概率计算公式为概率 = 事件A包含的结果数÷所有可能出现的结果数。概率是理论值，是不变的，与试验次数无关，在试验之前已经确定。通过抛掷均匀硬币的试验，我们发现在大量重复试验后，频率稳定在概率值附近，所以可以用频率估计概率。
概率论先驱之一的瑞士数学家雅各布·伯努利曾在他的《猜度术》中指出，无限地连续进行试验，我们终能正确地计算任何事物的概率，并从偶然现象之中看到事物的秩序。从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。下面我们一起来思考一下如何求一个随机事件的概率。
通过前面的学习，我们知道随机事件有类似于抛掷一枚均匀硬币的等可能事件，可以用列举法求概率。刚刚我们又通过试验法得到了用频率估计概率。其中列举法求事件概率，要求试验中出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等。因此非等可能事件就不适合列举法。它能不能用频率估计概率呢？用频率估计概率虽不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受各种结果出现的可能性相等的条件限制，使得可求概率的随机事件范围扩大，所以非等可能事件可以用频率估计概率。下面我们来完成图钉落地的试验，看一看非等可能事件的概率求法。
从一定高度落下的图钉着地时会有哪些可能的结果？其中钉帽着地的可能性大吗？
生：图钉落地有两种可能，钉尖着地、钉帽着地，其中钉帽比较重，着地的可能性更大。
师：相信同学们已经在课前做过了这样的实验，我们再系统地来完成试验步骤。首先要统计钉帽着地的次数和试验累积次数；二是计算钉帽着地的频率；三是根据表格或统计图分析频率的变化；四是用趋于稳定的频率，估计钉帽着地的概率。这四个步骤分别对应数据的收集、数据的整理、数据的描述和数据分析。为了更好地完成试验，我们应大量重复试验。下面是班级同学们经过数据的收集、整理、描述、分析后得出的结果。表格如下。
从表格中我们发现数据比较多，很难直观地看出它的变化趋势，所以我们通过统计图来描述钉帽着地的可能性。这个实验告诉我们什么呢？在图钉落地试验中，钉帽着地的频率随着实验次数的增加稳定在常数56.5%，从而估计钉帽着地的概率为0.56。同学们，你们的试验数据是否也得到了钉帽着地的频率稳定值，和老师的钉帽着地频率值相同吗？如果有偏差也是很正常的。