师：好，同学们，上一个课时，我们复习了一元二次方程的概念和解法。这节课，我们将继续复习一元二次方程的其他应用。首先，我们来看根与系数的关系。对于关于 x 的一元二次方程 ax² + bx + c = 0，如果它有两个根 x₁ 和 x₂，那么 x₁ + x₂ = -b/a，x₁ * x₂ = c/a。请同学们注意两个前提：第一，二次项系数 a ≠ 0；第二，根的判别式 Δ ≥ 0。我们经常利用这个关系进行整体代入求值。下面我们一起看例一：已知 x₁、x₂ 是方程 2x² + 3x - 1 = 0 的两个根。在不解方程的前提下，求出下列四个代数式的值。
生：老师，我们首先根据根与系数的关系，算出 x₁ + x₂ = -3/2，x₁ * x₂ = -1/2。
师：很好。那么第一问，x₁² + x₂²，怎么用两根和与两根积来表示呢？
生：可以用完全平方公式的变形：x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂。代入数值后，等于 (-3/2)² - 2 * (-1/2) = 9/4 + 1 = 13/4。
师：正确。第二问，x₂/x₁ + x₁/x₂，这是分式的加减，第一步应该怎么做？
生：先通分，变成 (x₂² + x₁²) / (x₁x₂)。分子就是刚才求的 x₁² + x₂²，分母是积的形式。代入后，得 (13/4) / (-1/2) = 13/4 * (-2) = -13/2。
师：很好。第三问，(x₁ - 3)(x₂ - 3)，这是一个整式乘法。
生：展开括号，得 x₁x₂ - 3x₁ - 3x₂ + 9。其中 -3x₁ - 3x₂ = -3(x₁ + x₂)。整体代入：(-1/2) - 3*(-3/2) + 9 = -1/2 + 9/2 + 9 = 4 + 9 = 13。
师：嗯？再仔细算算，-1/2 + 9/2 等于多少？
生：哦，是 8/2 = 4。4 + 9 = 13。是的，答案是13。
师：第四问，(x₁ - x₂)²，如何表示？
生：(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂。代入得 (-3/2)² - 4*(-1/2) = 9/4 + 2 = 9/4 + 8/4 = 17/4。
师：非常好。下面看例二：已知一个直角三角形的两直角边长恰好是方程 2x² - 8x + 7 = 0 的两根，则这个直角三角形的斜边长是多少？选项有：A. √3，B. 3，C. 6，D. 9。
生：设两直角边为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = 7/2。斜边 c 满足 c² = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 16 - 7 = 9。所以 c = 3，选 B。
师：正确。我们再看例三：关于 x 的一元二次方程 x² + 2(m-1)x + m² - 1 = 0 有两个不相等的实数根 x₁、x₂。第一问，求实数 m 的取值范围；第二问，是否存在实数 m，使得等式 x₁² + x₂² + 4x₁x₂ = 16 成立？如果存在，求出 m 的值；如果不存在，请说明理由。
生：第一问，因为有两个不相等的实数根，所以 Δ > 0。这里 a=1，b=2(m-1)，c=m²-1。Δ = [2(m-1)]² - 41(m²-1) = 4(m²-2m+1) - 4(m²-1) = 4m² - 8m + 4 - 4m² + 4 = -8m + 8。由 -8m + 8 > 0，得 m < 1。
师：对。第二问呢？注意利用已知等式和根与系数的关系。
生：因为有两个实数根，所以 x₁ + x₂ = -2(m-1) = 2(1-m)，x₁x₂ = m² - 1。给定的等式是 x₁² + x₂² + 4x₁x₂ = 16。左边 x₁² + x₂² 可以写成 (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂，所以等式变为 (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + 4x₁x₂ = (x₁ + x₂)² + 2x₁x₂ = 16。代入： [2(1-m)]² + 2(m²-1) = 16。化简：4(1 - 2m + m²) + 2m² - 2 = 16 => 4 - 8m + 4m² + 2m² - 2 = 16 => 6m² - 8m + 2 = 16 => 6m² - 8m - 14 = 0 => 两边除以2：3m² - 4m - 7 = 0。解这个方程：(3m - 7)(m + 1) = 0，得 m₁ = 7/3，m₂ = -1。
师：这两个值都能要吗？
生：不能。由第一问，m < 1。所以 m = 7/3 > 1，应舍去。m = -1 符合条件。所以存在实数 m = -1。
师：很好。接下来我们复习一元二次方程的实际应用，包括变化率、传播、互赠握手、面积、利润等问题。先看变化率问题：设原值为 a，平均变化率为 x。若 x 为增长率，则两次变化后新值为 a(1+x)²；若为下降率，则为 a(1-x)²。传播问题：设原始病原为 1，一轮中一个传播给 x 个其他个体，两轮传播后总数为 b，则等式为 1 + x + (1+x)x = b，即 (1+x)² = b。互赠或握手问题：设人数为 x。若是单循环（如握手），总次数为 x(x-1)/2；若是双循环（如两队主客场赛），总次数为 x(x-1)。面积问题：注意用代数式表示长、宽等几何量。利润问题：总利润 = (售价 - 进价) × 销量，注意涨价或降价对销量的影响。
现在看例一：在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次。设有 x 人，列方程。
生：这是单循环问题，方程是 x(x-1)/2 = 21。
师：对。例二：新冠肺炎传染问题。一人携带病毒，经过两轮传染后共有169人患病，假设每轮传染人数相同。求（1）每轮传染中平均每人传染几人？（2）若未隔离，第三轮后共有多少人患病？