师：亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习初中数学人教版九年级上册第22章小结的第二课时。下面，我们先来复习考点六：二次函数与一元二次方程。
例一：若二次函数(y = x^{2} + Mx)的对称轴是(x = 3)，则关于(x)的方程(x^{2} + Mx = 7)的解为（ ）
A. (x_{1} = 0)，(x_{2} = 6)
B. (x_{1} = 1)，(x_{2} = 7)
C. (x_{1} = 1)，(x_{2} = -7)
D. (x_{1} = -1)，(x_{2} = 7)
首先，我们可以根据对称轴公式(-\frac{b}{2a})计算出(m)的值，然后将(m)的值代入方程，再根据一元二次方程的解法解出方程的两个解即可。
下面我们来看具体的解答过程。因为二次函数(y = x^{2} + Mx)的对称轴是(x = 3)，所以根据(-\frac{b}{2a})可得(-\frac{M}{2\times1} = 3)，从而解得(M = -6)。
关于(x)的方程(x^{2} + Mx = 7)，可以化为(x^{2} - 6x - 7 = 0)。通过因式分解，我们可以得到((x + 1)(x - 7) = 0)，因此解得(x_{1} = -1)，(x_{2} = 7)，所以本题选择D选项。
接下来看考点7：二次函数的实际应用归类。
类型一：以利润问题为背景。
例二：某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%。经试销发现，销售量(y)件与销售单价(x)元符合一次函数(y = Kx + b)，且(x = 65)时，(y = 55)；(x = 75)时，(y = 45)。
问题一：求一次函数的表达式。
问题二：若该商场获得利润为(w)元，试写出利润(w)与单价(x)之间的关系式。销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？
我们一起来分析一下。问题一，要求一次函数的表达式，通过观察发现有两个变量(k)和(b)。因此，我们需要代入两个点坐标就可以求出(k)与(b)的值，从而得到一次函数的表达式。
对于问题二，写出利润(w)关于(x)的函数关系式，首先要了解其中的等量关系。商场获得的总利润应该等于单件利润乘以件数，那么单件利润该如何求解呢？单件利润我们可以用销售单价减去成本。件数我们已经在第一问一次函数中求得，因此就可以写出关于(w)的函数。
第二个问题，销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？此时我们应该计算出销售单价(x)的取值范围。题目给出条件，销售单价不低于成本单价且获利不得高于45%，由此可以判断出自变量(x)的范围，这样就可以求出此时所对应的(w)的最大值。
下面我们来看具体的解答过程。
解一：根据题意得(\begin{cases}65K + b = 55 \ 75K + b = 45\end{cases})，解方程组得(K = -1)，(b = 120)。因此，所求的一次函数的表达式为(y = -x + 120)。
利润(w = (x - 60)(-x + 120))，去括号得(w = -x^{2} + 180x - 7200)，我们把它写成顶点式，得到(w = -(x - 90)^{2} + 900)。
因为抛物线开口向下，所以当(x \lt 90)时，(w)随(x)的增大而增大。
通过题目条件可得自变量的取值范围是(60\leq x\leq60\times(1 + 45%))，即(60\leq x\leq87)。对称轴不在自变量范围内，因此不能在顶点处取最值。
所以当(x = 87)时，(w)有最大值。此时(w = -(87 - 90)^{2} + 900 = 891)。
所以同学们以后在做此类题目时，一定要注意对称轴是否在自变量的取值范围内，是否能在顶点处取最值。
针对训练：一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示。该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像解答以下问题。
问题一：求该抛物线对应的二次函数解析式。
问题二：该公司在经营此款电脑过程中第几个月的利润最大？利润是多少？
问题三：若照此经营下去，请结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况是否亏损，何时亏损做预测分析。
我们一起来看具体的解答过程。
一、因图像过原点，我们可以将函数解析式设为(y = ax^{2} + Bx)。由图像的点的含义，我们可以将坐标((1,32))、((2,44))代入函数解析式，从而得到方程组(\begin{cases}a + b = 32 \ 4a + 2b = 44\end{cases})，通过解方程组得(a = -1)，(b = 14)。因此，所求的二次函数的表达式为(y = -x^{2} + 14x)。
二、我们首先将(y = -x^{2} + 14x)化为顶点式(y = -(x - 7)^{2} + 49)，因此当(x = 7)时，利润最大，最大利润为49万元。
三、没有利润，即(y = -x^{2} + 14x = 0)时，我们可以解得(x_{1} = 0)（不符合题意，舍去）或(x_{2} = 14)。而这时通过函数图像可以判断利润为下滑状态，所以第15个月开始公司将会亏损。
类型2：以几何图形问题为背景。
例3：如图，梯形(ABCD)中，(AB\parallel DC)，(\angle ABC = 90^{\circ})，(\angle A = 45^{\circ})，(AB = 30)，(BC = x)，其中(15 \lt x \lt 30)。作(DE\perp AB)于点(E)，将(\triangle ADE)沿直线(DE)进行折叠，使得点(A)落在(BC)上的点(G)处。
问题一：用含有(x)的代数式表示(BF)的长。
问题二：设四边形(DEBG)的面积为(s)，求(s)与(x)的函数关系式。
问题三：当(x)为何值时，(s)有最大值，并求出这个最大值。
下面我们一起来看问题一。通过几何知识，(DE\perp AB)，我们可以得到(\angle AED = 90^{\circ})，又因为(\angle A = 45^{\circ})，因此可以得到(\triangle AED)为等腰直角三角形。又因为(\triangle DEF)是(\triangle ADE)折叠所得，因此(\triangle DEF\cong\triangle DAE)。又因为(BC)的长等于(x)，因此(DE)的长也为(x)，(AE)的长也是(x)，同时(EF)的长也为(x)。现在要求(BF)的长，我们可以通过做差法，用(AF)减去(AB)所得。因此就可以写出(BF)的函数解析式。
第2问，对于四边形(DEBG)的面积(s)，我们可以利用(\triangle DEF)的面积减去(\triangle GDF)的面积所得。因为(\triangle DEF)与(\triangle GEF)为等腰直角三角形，所以这两个三角形的面积都应该等于(\frac{1}{2})乘以直角边的平方，这样就可以写出面积表达式了。