师：同学们好，今天我们继续学习二次函数的相关知识，21.3节二次函数与一元二次方程的第二课时。首先，我们来看一道问题，回顾上节课所学内容。已知偶函数(y = x^2 - 2x - 3)的图像如图所示，那么方程(x^2 - 2x - 3 = 0)的解是什么？上节课我们知道，一元二次方程的解就是对应的抛物线与(x)轴交点的横坐标。从图像可得，该抛物线与(x)轴交点为(( - 1,0))和((3,0))，所以该抛物线所对应的一元二次方程(x^2 - 2x - 3 = 0)的解为(x_1 = - 1)，(x_2 = 3)。
如果二次函数图像与(x)轴的交点横坐标不是整数，甚至不是有理数，该如何用图像法求一元二次方程的近似解呢？我们来看例题。例一，用图像法求一元二次方程(x^2 + 2x - 1 = 0)的近似解，精确到(0.1)。同学们想一想，题目要求用图像法解一元二次方程，那应该画出哪个函数的图像呢？分析一下，一元二次方程(x^2 + 2x - 1 = 0)，从函数图像角度看，就是求抛物线(y = x^2 + 2x - 1)与(x)轴交点的横坐标。所以我们画出函数(y = x^2 + 2x - 1)的图像。
再想一想，观察抛物线图像，能得到方程的根在哪两个整数之间吗？由图像可知，抛物线(y = x^2 + 2x - 1)的图像与(x)轴有两个交点，分别位于(( - 3,0))和(( - 2,0))之间，以及原点和((1,0))之间。所以二次函数所对应的一元二次方程应该有两个不相等的实数根，一个在(- 3)和(- 2)之间，另一个在(0)和(1)之间，即(x_1)大于(- 3)小于(- 2)，(x_2)大于(0)小于(1)。
我们目前知道两个根分别介于(- 2)和(- 3)之间，(0)和(1)之间，而题目要求精确到(0.1)，怎样得到符合要求的方程根的近似解呢？观察图像可知，抛物线与(x)轴交点横坐标较小的根位于(- 2.5)左右。我们可以通过计算器计算出当(x = - 2.6)、(- 2.5)和(- 2.4)时所对应的(y)的值。
观察表格可知，当(x = - 2.6)时，(y = 0.56)为正；当(x = - 2.5)时，(y = 0.25)也为正；当(x = - 2.4)时，(y = - 0.04)为负。(x)从(- 2.5)到(- 2.4)，(y)的值由(0.25)到(- 0.04)，由正到负。由此可见，当(x)大于(- 2.5)小于(- 2.4)之间，肯定有一个(x)值使得(y = 0)。所以我们不需要再计算(x = - 2.3)以及其他(x)所对应的函数值。由此得到该方程的一个根在(- 2.5)至(- 2.4)之间，(x)究竟约等于(- 2.5)还是(- 2.4)呢？我们可以通过比较两者对应的函数值，当(x = - 2.5)时，(y = 0.25)；当(x = - 2.4)时，(y = - 0.04)，(- 0.04)更接近于(0)。所以原方程的一个近似解应该是(x = - 2.4)。为了更严谨一些，(x)取(- 2.5)还是(- 2.4)呢？根据四舍五入近似法则，关键看它们的中间值(- 2.45)。
当(x = - 2.45)时，我们计算出(y)的函数值等于(0.10)，大于(0)。又因为当(x = - 2.4)时，(y = - 0.04)为负，说明当(x)大于(- 2.45)小于(- 2.4)之间，肯定有一个(x)使得(y = 0)。所以方程的一个根(x)应该是大于(- 2.45)小于(- 2.4)，这样更严谨地说明(x)的一个近似解为(- 2.4)。
接下来，请同学们仿照上面的做法，求出上述方程精确到(0.1)的另一个根，动手试一试。我们观察抛物线与(x)轴的另一个交点，横坐标在(0.4)左右。同样通过计算器计算发现，当(x = 0.4)时，(y = - 0.04)；当(x = 0.5)时，(y = 0.25)。同理，(x)从(0.4)到(0.5)，(y)的值由负到正。那么在(x)大于(0.4)小于(0.5)之间，必定有一个(x)使得(y = 0)，所以(x)应该是大于(0.4)小于(0.5)，(x)取(0.4)还是(0.5)呢？比较两者的函数值，当(x = 0.4)时，(y = - 0.04)；当(x = 0.5)时，(y = 0.25)，(- 0.04)更接近于(0)。所以该方程的另一个近似根应该是(x = 0.4)。
同样，为了更严谨一些，我们可以计算出当(x = 0.45)时(y)的函数值。将(x = 0.45)代入函数解析式，算出(y)约等于(0.10)，大于(0)。那么当(x)从(0.4)到(0.45)时，(y)的值由负到正，所以当(x)大于(0.4)小于(0.45)之间一定有一个(x)值，使得(y = 0)，故原方程另一个根(x)约等于(0.4)。
除了上面的做法，还能利用其他函数图像求这个方程的实数根吗？我们知道求一元二次方程(x^2 + 2x - 1 = 0)的解，实际上就是求抛物线(y = x^2 + 2x - 1)与(x)轴交点的横坐标。我们也可以对这个方程进行适当变形，将等号左边的(- 1)移到等号右边，得到(x^2 + 2x = 1)。
从函数图像角度理解，该方程的解就是对应的函数(y = x^2 + 2x)和直线(y = 1)交点的横坐标。所以我们画出抛物线(y = x^2 + 2x)和直线(y = 1)的图像，该抛物线与直线(y = 1)有两个交点，左边交点横坐标在(- 2.4)左右。我们可以计算出当(x = - 2.4)和(- 2.5)时所对应的(y)值，发现当(x = - 2.4)时，(y)的值更接近(y = 1)，所以原方程其中较小的一个根(x)约等于(- 2.4)。
同理，抛物线与直线(y = 1)另一个交点的横坐标在(0.4)左右，我们同样通过计算器算出当(x = 0.4)、(0.5)时所对应的(y)的值，发现当(x = 0.4)时，(y)的值更接近(y = 1)，所以原方程的另一个根(x)约等于(0.4)。
类比上述两种不同做法，还能利用其他函数图像求这个方程的实数根吗？想一想。我们还可以对这个一元二次方程再进行变形，将(2x - 1)移到等号右边，得到(x^2 = - 2x + 1)。那么这个一元二次方程的解，就可以理解成函数(y = x^2)和直线(y = - 2x + 1)两个图像交点的横坐标就是对应的方程(x^2 = - 2x + 1)的解。所以我们画出这两个函数图像。
两个函数图像交于(A)、(B)两点，观察到(A)点和(B)点所对应的横坐标应该在(- 2.4)和(0.4)左右。我们分别计算出当(x = - 2.4)、(- 2.5)时所对应的两个函数解析式(y)的值。当两个函数值(y)越接近时，说明此时(x)所对应的两点越接近交点，可以把它作为根的近似值。通过计算发现，当(x = - 2.4)时，所对的两个函数值(y)更接近，所以其中一个近似解(x = - 2.4)。同理可得另一个近似根为(x = 0.4)。
比较这三种方法的联系与区别，我们发现以上三种方法都是把解方程的问题转化为求抛物线与直线交点的横坐标问题。不同之处是根据方程的不同形式建立的函数模型不同。还能利用其他函数图像求这个方程的实数根吗？请同学们课下思考。