师：同学们好，今天这节课我们来共同学习九年级上册第21章21.4节二次函数的应用第一课时。之前我们已经学习了二次函数的概念、图像和性质，以及二次函数与一元二次方程。现在我们先来回忆一下，二次函数有哪几个方面的性质呢？
生：有开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最大值或最小值。
师：非常好。对于函数$y = ax2 + bx + c$来说，它的最大值或最小值是多少呢？
生：若$a > 0$，当$x = - \frac{b}{2a}$时，函数取得最小值，$y_{最小值} = \frac{4ac - b2}{4a}$；若$a < 0$，当$x = - \frac{b}{2a}$时，函数取得最大值，$y_{最大值} = \frac{4ac - b2}{4a}$。
师：很好。那我们借助这些性质，看看能否解决本章遇到的第一个问题。某水产养殖户用长40米的围网在水库中围一块矩形水面，要使该水域水面面积最大，它的边长应该是多少米呢？要解决这个问题，我们首先要寻找面积和边长之间的数量关系。我们不妨设矩形水域的一边长为$x$米，因为周长为40米，所以长与宽的和为20米，则它的另一边长为$(20 - x)$米。若它的面积用$S$平方米来表示，那么$S = x(20 - x)$。可见，面积$S$是关于边长$x$的二次函数，求面积的最大值，也就是求此函数的最大值。我们回忆一下求函数最大值的常用方法有哪些？
生：可以先将函数配成顶点式，或者直接用顶点公式来求得最大值。
师：对。这里我们先将函数表达式配方成顶点式，得到$S = - (x - 10)2 + 100$。考虑到实际问题中边长应该为正数，所以$x > 0$，另一边长$20 - x$也应该大于0，即$x > 0$且$x < 20$。在图像中，因为$x$不能取0和20，所以这两处我们用空心圆圈来表示。这个函数的图像是一条开口向下的抛物线中的一段，它的顶点坐标为$(10, 100)$，所以当$x = 10$时，函数取得最大值为100平方米。此时我们可以求得另一边长为10米。答：当围成的矩形水面边长都为10米时，它的面积最大为100平方米。那我们能不能把这样一个问题推广到更为一般的情形，假设有一个矩形的周长是确定的，何时它的面积最大呢？
生：由刚才的解题过程可以发现，当长与宽相等时面积最大，所以周长一定的矩形中，正方形的面积最大。
师：非常棒。下面我们把这个问题稍作改变。用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园，墙长为22米。这个矩形的长宽各为多少时，矩形的面积最大，最大面积又是多少？根据刚才的解题经验，我们来想一想，要想解决这个问题，首先要确定面积$S$和其中一边长有怎样的数量关系，而这条边长它的取值需满足什么条件呢？在自变量的取值范围内，如何确定函数$S$的最大值？对于这个矩形，我们不妨设垂直于墙面的一边长为$x$米，那么平行于墙面的另一边长为$(40 - 2x)$米。矩形面积仍然用$S$平方米表示，那么$S = x(40 - 2x)$。不妨先将其配成顶点式，$S = - 2(x - 10)2 + 200$。这里的$x$该满足什么要求呢？
生：边长$x > 0$，$40 - 2x > 0$，另外平行于墙的这条边长应该小于等于墙的长度，即$40 - 2x \leq 22$，由此可得$x$的范围是大于或等于9并且小于20。
师：很好。在这个自变量的取值范围内，该抛物线仍然是开口向下，所以当$x = 10$时，函数取得最大值为200平方米，此时另一条边长为$40 - 10×2 = 20$米。答：当围成的矩形菜地长为20米，宽为10米时，它的面积最大为200平方米。如果把这个问题再稍作改变，同学们请看变式2，你能注意到变式2与变式1的条件有什么不同吗？
生：墙长变为了16米。
师：对，这个长度会对我们的解题结果产生影响吗？其他条件没有变化，类似于刚才的解题过程，我们同样设垂直于墙面的一边长为$x$米，那么平行于墙面的一边长应该为$(40 - 2x)$米。当菜园的面积为$S$平方米时，$S = x(40 - 2x)$，这个关系式和变式一中的关系式是完全一致的。我们也将它配成顶点式，$S = - 2(x - 10)2 + 200$。类似于上述问题，$x > 0$，$40 - 2x > 0$，另外还有平行于墙的这条边长，其长度应该不超过墙的长度，也就是说$40 - 2x \leq 16$，由此我们可以发现，$x$的取值范围为大于等于12小于20。可是这时我们发现抛物线的顶点横坐标不在自变量的取值范围内，那如何求它的最大值呢？
生：可以动手画出这个函数的图像，会发现在这个自变量的取值范围内，函数$S$随着$x$的增大而减小，那么可以在$x = 12$时取得最大值。
师：非常好。将$x = 12$代入函数关系式，得到$S$的最大值为192平方米。此时另一边长为$40 - 12×2 = 16$米。答：当围成的矩形菜地长为16米，宽为12米时，它的面积最大为192平方米。我们比较变式一和变式2，会发现虽然函数关系式是完全相同的，但是它们自变量的取值范围不同，二者开口都是向下的。如果顶点在自变量的取值范围内，那么一般在顶点处取得最大值。如果顶点不在自变量的取值范围内，我们不妨根据二次函数在自变量取值范围内的增减性来确定函数的最大值或最小值。
那么综合上面三个问题的解答过程，我们来共同总结一下用二次函数解决实际问题的基本思路是什么呢？
生：遇到实际问题，通过分析题目中的数量关系，将其转化为函数模型，借助函数的性质解决函数模型问题，求得函数模型的解，再对这样的解进行检验，最后得到实际问题的答案。
师：非常正确。那同学们，你能不能用这样的基本思路来解决问题二呢？问题二：有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个。如果增加人数，每增加一人会使每人每天少装配玩具10个。请问增加多少人才能使每天装配的玩具总数最多，最多是多少呢？我们先来一起梳理一下具体的数量关系，如果装配工人数为15人，每人装配数为190个，装配玩具的总数为$15×190 = 2850$个。现在增加一个装配工人，也就是$15 + 1$，相应的每人的装配数就变为$190 - 10$，那么装配玩具的总数是$(15 + 1)×(190 - 10) = 2880$个。再加一人$15 + 2$，每人装配数$190 - 20$，总数为2890个。那么如果我们增加了$x$位装配工人，这时候每人的装配数变为$190 - 10x$，装配玩具的总数即是装配工人数与每人装配数的乘积$(15 + x)(190 - 10x)$。如果我们用$y$来表示装配的总数，设增加$x$人，这时候我们会发现装配总数$y = (190 - 10x)(15 + x)$。如果想求得$y$的最大值，我们不妨也将这个函数配成顶点式。
生：$y = - 10(x - 2)2 + 2890$。
师：因为抛物线开口向下，所以当$x = 2$时，函数取得最大值为2890。答：增加两人才能使每天装配的玩具总数最多，最多为2890个。我们不妨将问题的情境稍作改变，同学们来看一看下面这个问题。某商品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？虽然问题的情境变了，同学们应该能够感受到数量关系与刚才的问题非常类似。当售价为60元时，可卖出300件。当售价为61元时，可卖出$300 - 10$件。售价62元，可卖出$300 - 20$件，以此类推。那我们不妨设每件商品涨价$x$元，每星期获得的利润为$y$元。那么每件商品的单价为$(60 + x)$元，相应的数量则变为$(300 - 10x)$件。二者的乘积即为每星期销售该商品的总金额。此商品成本为每件40元，销售量同样是$(300 - 10x)$件，二者乘积为每星期销售该商品的成本。用每星期销售的总金额减去每星期的成本，即得利润$y$。我们可以将这个函数关系式先化简，然后再配方为顶点式。
生：$y = - 10(x - 5)2 + 6250$。
师：在这里面我们注意到商品的销售量$300 - 10x$应该是大于或等于0的，所以$x \leq 30$，并且$x \geq 0$。那么在这个范围内，抛物线开口向下，所以当$x = 5$时，函数取得最大值，最大值为6250。不要忘了刚才我们所说的$x$是涨价的金额，那么商品的销售价格应该是$60 + 5 = 65$元。答：每件商品定价65元才能使利润最大。在刚才这个问题中，我们不妨再增加一个条件。同学们注意仔细审题，看一看哪里发生变化了。每件涨价1元，每星期要少卖出10件，和上一题保持不变。这里增加了一个信息，如果每件降价1元，每星期可多卖出20件，那么已知商品的进价仍然为40元。如何定价才能使利润最大呢？认真审题，我们会发现，这里分为涨价和降价两种情况。而对于涨价的情况，因为条件和上一题完全一致，所以如果商品是涨价，那么由上面的变式一我们可知每件商品涨价5元，也就是说定价为65元时，利润最大为6250元。现在假设商品是降价，情况如何呢？为了便于区分，我们不妨设每件商品降价$m$元，每星期获得的利润为$w$元。那么我们共同来列一下函数关系式，因为是降价$m$元，所以现在的销售价格是$(60 - m)$元，而销量则是在原来300的基础上增加了$20m$件。单价乘销量关系仍然如此。成本每件是40元，销量$(300 + 20m)$件，二者相乘是每个星期的总成本。所以每星期获得的利润$w$就可以表示为$(60 - m)(300 + 20m) - 40(300 + 20m)$。我们同样将该函数关系式化简，并配成顶点式。
生：$w = - 20(m - 2.5)2 + 6125$。
师：考虑到实际生活中我们不会去亏本买卖，所以$m$的范围应该是大于0并且小于或等于20。在这个范围内，因为抛物线的开口方向向下，所以当$m = 2.5$时，函数取得最大值为6125。同样的，$m$是降价的金额，那么商品的定价应该为$60 - 2.5 = 57.5$元。接下来我们综合涨价的情况以及降价的情况，把两种情况进行对比。我们注意到$6250 > 6125$，所以每件商品定价为65元时，才能使得利润最大。
下面我们共同来完成一道练习。如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙的最大可用长度为10米围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃$AB$边长为$x$米，面积为$y$平方米。一、求$y$与$x$的函数关系式，并写出$x$的取值范围。二、如果要围成面积为45平方米的花圃，求$AB$的长度。三、如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米？我们已经设$AB$边长为$x$，相应的，根据篱笆的总长度，我们可以确定$BC$的长度，从而确定面积$y$与$x$的函数关系式。对于问题二来说，如果我们已经确定了$y$与$x$的函数关系式，现在面积是45平方米，也就是说$y$为45，代入函数解析式解方程可得$x$的值。问题三，求花圃面积的最大值，实际上就是求二次函数的最值。同学们动手算一算吧。
（过了一会儿）
师：相信同学们已经算好了，我们一起来看解答过程。一、由题可知，花圃的宽$AB$为$x$米，则$BC$长为$(24 - 3x)$米。这时面积$y = x(24 - 3x) = - 3x2 + 24x$。因为$24 - 3x > 0$且$24 - 3x \leq 10$，所以我们得到$x \geq \frac{14}{3}$并且$x < 8$。所以$y = - 3x2 + 24x$（$x \geq \frac{14}{3}$并且$x < 8$）。在问题2中，由条件可知，$- 3x2 + 24x = 45$，解方程可得$x_1 = 5$，$x_2 = 3$。因为自变量$x$的取值范围，我们知道$x = 3$不合题意舍去，也就是说$AB$的长度为5米。问题3中我们将二次函数配成顶点式$y = - 3(x - 4)2 + 48$。注意自变量的取值范围，因为抛物线开口向下，而顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，所以我们注意到在该范围内函数$y$随着$x$的增大而减小，所以当$x = \frac{14}{3}$时，$y$有最大值$46\frac{2}{3}$，也就是说最大面积为$46\frac{2}{3}$平方米。
我们已经很好地解决了上述问题，接下来我们不妨共同回顾一下本节课所学习的内容。也就是说二次函数解决实际问题的基本思路是什么呢？
生：面对一个实际问题，理清问题中的数量关系，将其转换为函数模型，借助函数的相关性质解决这个模型，得到函数模型的解，再进行合理的检验，就得到实际问题的答案。
师：非常好。我们借助这个基本思路解决了若干个实际问题，也体会到了二次函数的应用价值。当然同时我们也要注意检验结果的合理性。今天的课后练习请同学们完成必做题，还有两个选做题供大家思考。这堂课我们就上到这里，同学们再见。