师：同学们好。今天这堂课我们共同学习九年级上册第 21 章 21.4 节二次函数的应用第二课时。同学们，如果我们用数学的眼光看世界，时常会发现一些抛物线形状，比如说喷泉中喷出的水柱，还有现代的建筑物、中国古代与现代的桥梁等等。要更好地研究抛物线形状，就需要先准确地刻画抛物线的解析式。为解决这个问题，我们先以一个具体问题为例，回忆抛物线解析式的求法。
已知抛物线过点(A(-1,0))、(B(0,6))，对称轴为直线(x = 1)，求该抛物线的解析式。因为题目提供了对称轴，我们不妨设该抛物线的顶点式为(y = a(x - 1)^2 + k)，这里(a)和(k)是未知量。要想求出二者，我们可以将(A)点和(B)点坐标代入函数解析式，得到(\begin{cases}4a + k = 0 \ a + k = 6 \end{cases})。解方程组可得(a = -2)，(k = 8)，所以该抛物线的解析式为(y = -2(x - 1)^2 + 8)。
刚才我们是采用顶点式求解该函数解析式的。换个角度想，已知两个点的坐标，也可以用一般式来求该函数解析式。设该抛物线的解析式为(y = ax^2 + bx + c)。把(A)点坐标和(B)点坐标分别代入，可得(\begin{cases}a - b + c = 0 \ c = 6 \end{cases})。而对称轴(x = 1)，可转化为(-\frac{b}{2a} = 1)。同样解这个方程组可得(a = -2)，(b = 4)，(c = 6)。所以抛物线的解析式为(y = -2x^2 + 4x + 6)。
有了这样的知识储备，我们来看问题一。如图，悬索桥两端的主塔，塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似看作抛物线。水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。已知两端主塔之间的水平距离为(900)米，两主塔塔顶距离桥面的高度为(81.5)米，主悬钢索最低点距离桥面的高度为(0.5)米。请计算距离桥两端主塔分别为(100)米、(50)米处的垂直钢索长。
我们来看问题中提供的重要信息，形状可看成抛物线，就对应了相应的二次函数。两座塔之间的水平距离为(900)米，主塔距离桥面高度(81.5)米，主悬钢索最低点距离桥面高度为(0.5)米。要计算垂直钢索的长，其实垂直钢索的长即是抛物线上对应点与桥面之间的距离。为准确算出这个结果，我们不妨将抛物线放到平面直角坐标系中，把实际问题转化为数学问题来研究。根据题目信息，首先需要建立平面直角坐标系，刚才提供的一些水平距离、最低点高度等信息，都可转化为平面直角坐标系内点的坐标。若抛物线经过这些点，就能根据相关信息确定该函数的解析式，再将对应的函数值代入解析式，便可求出垂直钢索的长。
以桥面所在直线为(x)轴，抛物线的对称轴为(y)轴建立平面直角坐标系。因为主悬钢索的最低点距离桥面的距离为(0.5)，所以抛物线的顶点坐标为((0,0.5))，对称轴为(y)轴，可设该抛物线对应的函数表达式为(y = ax^2 + 0.5)。根据两座塔之间的水平距离为(900)米，塔的高度为(81.5)米，可得抛物线经过点((450,81.5))。将该点坐标代入函数解析式，可得(a)的值为(\frac{1}{2500})，所以对应的函数解析式为(y = \frac{1}{2500}x^2 + 0.5)，其中(x)的取值范围为([ - 450,450])。
要求距离主塔(100)米的垂直钢索的长度，该钢索距离(y)轴的距离为(350)米，将(x = 350)代入函数解析式可得(y = 49.5)米。同样，另一条垂直钢索距离主塔(50)米，则它距离(y)轴(400)米，将(x = 400)代入函数解析式得到(y = 64.5)米。所以，距离桥两端主塔分别为(100)米、(50)米处垂直钢索的长分别为(49.5)米、(64.5)米。
我们再想一想，是否可以在其他位置建立相应的平面直角坐标系呢？可以以桥面为(x)轴，以其中一座主塔所在的直线为(y)轴建立平面直角坐标系，大家不妨试一试。或者以两座主塔的塔顶所在的水平直线为(x)轴，以抛物线的对称轴为(y)轴来建立平面直角坐标系，看看结果如何，同学们可以通过计算尝试并比较。
结合刚才的问题，我们共同总结一下建立二次函数模型解决抛物线问题的一般步骤。首先，建立合适的平面直角坐标系；其次，将实际问题中的信息转化为平面直角坐标系内点的坐标；若抛物线经过这些点，则求出相应的函数表达式；最后，根据函数的图像和性质解决实际问题。
有了这样的方法，我们来看下面的问题。如图，有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽(AB = 20)米，拱桥与水面的距离(OC = 4)米。问题一：若水位上涨(1)米，则桥下水面的宽度变为多少？问题二：水面在正常水位时，一艘装满货物的小船露出水面的部分高为(3.1)米，宽为(5)米，小船能从这座拱桥下通过吗？问题三：有两艘相同型号的上述小船并行通过该拱桥是否可行？
根据前面的解题经验，为更好算出结果，同样要将实际问题转化为数学问题，也就是把该抛物线放置在平面直角坐标系中，算出抛物线对应的函数表达式，进一步求解问题。我们以过(O)点的水平方向直线为(x)轴，(OC)所在的直线为(y)轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标为((0,0))，过点(B)点坐标为((10,-4))。设抛物线解析式为(y = ax^2)，再将(B)点坐标((10,-4))代入解析式，得到(a = - \frac{1}{25})，则抛物线解析式为(y = - \frac{1}{25}x^2)。
第一个问题中水面上涨(1)米，原水位所对的函数值(y)是(-4)，上涨后对应的函数值(y)应该为(-3)，将(y = - 3)代入函数解析式得(x_1 = 5\sqrt{3})，(x_2 = - 5\sqrt{3})，则桥下水面的宽度为(|x_1 - x_2| = 10\sqrt{3})米。
对于问题二，不妨让小船从拱桥下的中间位置通过，关注小船外沿是否能顺利通过。根据对称性，算一下当(x = 2.5)时，对应的函数值代入函数解析式得(y = - 0.25)。此时拱桥该处距离水面的高度应该是(|- 4| - | - 0.25| = 3.75)米，这个高度比小船外沿的高度(3.1)米要大，所以该小船能够从拱桥下通过。
对于问题三，换成两艘小船并行通行，其中一艘小船只能从对称轴的一侧通过。同样计算它的外沿高度和对应的拱桥的高度，将(x = 5)代入函数值(y = - 1)，该处的拱桥距离水面的高度为(|- 4| - | - 1| = 3)米，小于(3.1)米。由此可见，两艘小船并行无法从该拱桥下顺利通过。