师：同学们好。今天这堂课我们共同学习九年级上册第21章21.4节二次函数的应用。在学习新内容之前，我们借助一个具体题目来复习一下二次函数的相关内容。已知二次函数(y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + 4)，第一，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；第二，当(x)取何值时，(y)随(x)的增大而增大？当(x)取何值时，(y)随(x)的增大而减小？第三，求当(x = 2)时(y)的值，以及当(y = \frac{5}{2})时(x)的值。
对于第一个问题，我们把二次函数解析式整理成顶点式，就能写出其开口方向、顶点坐标和对称轴。对于第二个问题，根据二次函数的增减性来解决。因为抛物线开口向下，在对称轴左侧，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右侧，(y)随(x)增大而减小。第三个问题，将(x)的值代入函数解析式可计算出相应的(y)值；同样，把(y)的值代入函数解析式，通过解方程可得相应的(x)值。具体来看解答过程：
因为(y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + 4)可化为(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^{2} + \frac{9}{2})，所以抛物线开口向下，顶点坐标为((1,\frac{9}{2}))，对称轴为直线(x = 1)。
在问题一的基础上，已知对称轴为(x = 1)，所以当(x < 1)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > 1)时，(y)随(x)的增大而减小。
当(x = 2)时，可得(y)值为(4)。当(y = \frac{5}{2})时，代入函数解析式解方程，得(x_1 = 3)，(x_2 = -1)。
有了上述知识储备，我们来看新问题。上抛物体在不计空气阻力的情况下，有表达式(h = v_0t - \frac{1}{2}gt^{2})。其中(h)是物体上升的高度，(v_0)是物体被上抛时竖直向上的初始速度，(g)是重力加速度，一般取(g = 10)米每秒平方，(t)是物体抛出后经过的时间。如果(v_0)和(g)是已知量，那么(h)和(t)之间构成二次函数关系。例如在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为(10)米每秒。我们来思考：排球上升的最大高度是多少？已知某运动员在(2.5)米高度时扣球效果最佳，如果他要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳（精确到(0.1)秒）？
要求排球上升的最大高度，其实就是在自变量取值范围内求函数的最大值。对于第二个问题，根据扣球高度求相应的扣球时间，就是根据函数值求相应的自变量的值，把函数值代入解析式解方程，并根据题意合理取舍。已知初始速度(v_0 = 10)，(g = 10)，所以相应的二次函数为(h = 10t - \frac{1}{2}×10t^{2})。为便于求最大值，将其配成顶点式(h = -5(t - 1)^{2} + 5)（(t \geq 0)），因为抛物线开口向下，顶点坐标为((1,5))。所以排球上升时的最大高度为(5)米。
对于第二个问题，当排球上升到(2.5)米时，即(h = 2.5)米，代入函数解析式得到关于(t)的一元二次方程(10t - 5t^{2} = 2.5)。解方程可得(t_1 \approx 0.3)秒，(t_2 \approx 1.7)秒。排球在上升和下落中各有一次经过(2.5)米高度，第一次经过时离排球被垫起仅有(0.3)秒，要打快攻，选择此时扣球可令对方措手不及。所以该运动员应在排球被垫起后(0.3)秒时扣球最佳。如果这位运动员来不及在(0.3)秒时扣球，根据前面的解答，排球在上升和下落中各有一次经过(2.5)米高度，时间分别为(0.3)秒和(1.7)秒，所以他还可在(1.7)秒扣球。
上述两个量在现实中都有实际意义，要根据具体情况合理取舍。接下来看练习一：炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度(y)米与对应的水平距离(x)米之间的函数关系可表示为(y = -\frac{1}{54000}x^{2} + \frac{\sqrt{1}}{3}x)。试求：
炮弹能达到的最大高度。
炮弹的最远射程。
从数学角度看，炮弹的最大高度就是求该函数的最大值，可用顶点式或求顶点的公式来解决。炮弹的最远射程，同学们先在草稿纸上画出函数图像，最远射程就是炮弹落地点与发射点之间的距离，二者对应的高度(y = 0)，据此可求出相应射程。
第一个问题，将函数配成顶点式(y = -\frac{1}{54000}(x - 9000\sqrt{3})^{2} + 4500)。因为抛物线开口向下，顶点坐标为((9000\sqrt{3}, 4500))，所以能达到的最大高度为(4500)米。
第二个问题，因为炮弹已落地，把(y = 0)代入函数解析式，得到(-\frac{1}{54000}x^{2} + \frac{\sqrt{1}}{3}x = 0)，解方程得(x_1 = 0)，(x_2 = 18000\sqrt{3})。结合实际问题，(x = 0)是炮弹发射时的水平距离，所以炮弹的最远射程为(18000\sqrt{3})米。
再来看练习二：心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受能力(y)与学习知识所用的连续时间(x)（单位：分钟）之间满足经验关系式(y = -0.1x^{2} + 2.6x + 43)（(x \geq 0)且(x \leq 30)），(y)的值越大表示接受能力越强。问题如下：
当(x)在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当(x)在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
在第(10)分钟时，学生的接受能力是多少？
在第几分钟时，学生的接受能力最强？
对于第一个问题，关注函数的增减性，因为抛物线开口向下，在对称轴左侧，(y)随(x)增大而增大；在对称轴右侧，(y)随(x)增大而减小。第二个问题，第(10)分钟时，即(x = 10)，求相应的(y)值，代入函数关系式即可。第三个问题，求第几分钟时学生接受能力最强，实质就是求何时(y)取得最大值。
同学们算好后，我们一起来看答案。因为抛物线开口向下，对称轴为(x = 13)，(x)的取值范围为(0 \leq x \leq 30)。综合这两个条件，当(0 \leq x \leq 13)时，学生的接受能力逐步增强；当(13 \leq x \leq 30)时，学生的接受能力逐步降低。当(x = 10)时，得(y = 59)，即第(10)分钟时学生的接受能力是(59)。将函数(y = -0.1x^{2} + 2.6x + 43)配成顶点式(y = -0.1(x - 13)^{2} + 59.9)。因为抛物线开口向下，顶点坐标为((13, 59.9))，所以在第(13)分钟时，学生的接受能力最强。