师：同学们好！八年级我们开始学习函数，已经学过哪些函数呢？有一次函数、正比例函数、二次函数。这些函数是如何定义的？一般形如 y = kx + b（k、b 为常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做一次函数；形如 y = kx（k 为常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做正比例函数；一般表达式形如 y = ax2 + bx + c（a、b、c 为常数，且 a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
函数的研究一般经历怎样的过程？我们一般先学习函数的定义，再研究函数的图像与性质，最后学习函数的应用。下面我们一起来看这样一个问题：面积为 100 的矩形，如果宽如下表时，它的长分别为多少？矩形的长等于面积除以宽。当宽为 1 时，长等于 100 ÷ 1 = 100；宽为 1.25 时，长等于 100 ÷ 1.25 = 80。后面我们依次计算，当宽为 20 时，长等于 5；宽为 2.5 时，长为 40；宽为 40 时，长为 2.5；宽为 50 时，长为 2；宽为 80 时，长为 1.25。
我们现在一起观察这个表格，矩形的长和宽之间有怎样的关系？
生：矩形的长和宽的乘积为定值 100，对于矩形宽的每一个值，矩形的长都有唯一确定的值与之对应。
师：表格第一行矩形的宽自左向右数据依次变大，第二行矩形的长自左向右依次变小。如果用 x 表示宽，y 表示长，能用含有 x 的式子表示 y 吗？
生：因为矩形的长等于矩形的面积除以矩形的宽，所以 y = 100 / x。
师：问题二，某村有耕地 200 公顷，人口数量 x 逐年发生变化。该村人均耕地面积 y 公顷与人口数量 x 之间有怎样的关系？人均耕地面积等于什么？
生：人均耕地面积等于总耕地面积除以人口数量，所以关系式为 y = 200 / x。
师：问题三，某市距省城 248 千米，汽车行驶全程所需的时间 t 小时与平均速度 v 千米每小时之间有怎样的关系？这是行程问题，汽车行驶全程所需的时间等于什么？
生：时间等于路程除以平均速度，所以 t = 248 / v。
师：问题四，在一个电路中，当电压 u 一定时，通过电路的电流 i 的大小与该电路的电阻 r 的大小之间有怎样的关系？由电学知识可知通过电路的电流等于什么？
生：等于电压除以电阻，所以 i = u / r。
师：观察刚刚得到的这四个式子，每个式子里含有几个变量？
生：每个式子中都含有两个变量。
师：每个式子中的两个变量间是函数关系吗？是我们已经学过的哪种函数吗？是一次函数吗？
生：不是。
师：是正比例函数吗？
生：不是。
师：是二次函数吗？
生：也不是。
师：这些函数表达式有什么共同特点？
生：每个式子中两个变量的乘积都是一个定值。
师：这种关系我们学过吗？小学时学过这种关系，叫做反比例关系。这种函数我们就叫做反比例函数。可以类比一次函数、二次函数给反比例函数下一个定义吗？
生：一般表达式形如 y = k / x（k 为常数，且 k ≠ 0）的函数叫做反比例函数。
师：再看这个表达式，自变量和因变量是什么？
生：自变量是 x，因变量是 y，y 是 x 的函数。
师：自变量 x 的取值范围有要求吗？
生：因为自变量 x 位于分母的位置，所以 x ≠ 0。
师：有了反比例函数的定义，现在我们借助定义进行以下练习。第一题，下列函数 y 是 x 的反比例函数吗？如果是，指出 k 的值。第一个 y = x / 3 是反比例函数吗？
生：这个式子整理成 y = 1 / 3 × x，它是正比例函数，也是一次函数，不是反比例函数。
师：第二个式子是反比例函数吗？
生：是，k = 3。
师：第三个式子 y = 1 / (2x) 是反比例函数吗？我们可以把这个式子整理，得到 y = 1 / 2 / x，现在可以判断了吗？
生：它是反比例函数，k = 1 / 2。
师：下一个 y = - 1 / (3x)，这个式子是反比例函数吗？我们也可以把这个式子进行整理，得到 y = - 1 / 3 / x，是不是反比例函数啊？
生：是的，k = - 1 / 3。
师：最后一个式子 y 是 x 的反比例函数吗？
生：不是，这里 y 与 x2 之间是反比例关系。
师：二、判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系。如果是，请写出这个函数的表达式。一、正三角形的面积 s 与边长 a，可以用含有 a 的式子表示 s 吗？
生：s = √3 / 4 a2，s 和 a 不成反比例关系，s 是 a 的二次函数。
师：二、当圆锥的体积是 50 时，它的高 h 与底面积 s，圆锥的体积公式是什么？
生：圆锥的体积等于 1 / 3 底面积乘以高，所以 1 / 3 sh = 50，sh 的乘积为定值，所以这两个变量成反比例关系。函数表达式可以写为 h = 150 / s。