师：同学们好！前面我们已经学习了反比例函数的相关内容，谁能说一说都学了哪些呢？
生：学习了反比例函数的定义，一般表达式形如(y=\frac{k}{x})（(k)为常数且(k\neq0)）的函数叫做反比例函数，还学了反比例函数的图像与性质。当(k\gt0)时，图像是位于一三象限的两条曲线，在每个象限内，(y)随(x)的增大而减小；当(k\lt0)时，图像是位于二四象限的两条曲线，在每个象限内，(y)随(x)的增大而增大。
师：非常好！我们知道(k)的值影响着函数图像的形状，那么(k)有怎样的几何意义呢？如果我们把反比例函数的表达式变形为(xy = k)，当(x)、(y)、(k)都为正数时，这个式子能想到哪些几何意义？
生：当相邻两条边分别是(x)和(y)的矩形面积，就是(xy = k)。
师：大家看，这是函数(y=\frac{k}{x})（(x\gt0)）的图像。如果我们在图像上任取一点(P)，它的坐标为((x,y))，你能在图中找到面积为(xy)的矩形吗？
生：可以过(P)点分别向(x)轴、(y)轴作垂线段，则(PE)的长等于(y)，(PF)的长等于(x)。把矩形(PFOE)的面积记为(S)，那么矩形的面积(S)等于长乘以宽，即(S = xy)。
师：如果(P)点在图像上运动，这个结论仍然成立。如果连接(OP)，可以得到两个直角三角形，这两个直角三角形的面积与矩形面积有什么关系呢？
生：这两个直角三角形的面积都是矩形面积的一半，所以(\triangle POE)的面积等于(\triangle PFO)的面积等于(\frac{k}{2})。
师：如果(P)点是在第三象限，我们同样过(P)作(x)轴、(y)轴的垂线段。这样矩形(OEPF)相邻的两条边的长分别是(-x)、(-y)，此时矩形的面积(S)等于什么呢？
生：(S = (-x)×(-y)=xy = k)。
师：如果图像在第二象限或者第四象限，我们过(P)点向(x)轴和(y)轴分别作垂线段，(FPEO)这个矩形相邻的两条边分别为(-x)，(y)，这个矩形的面积(S)等于什么呢？
生：(S = (-x)×y=-xy)，因为(k\lt0)，所以(-k\gt0)，这个矩形的面积也等于(-k)。
师：请大家总结一下我们刚才的操作，可以得出哪些结论？
生：过双曲线图像上任意一点(P(x,y))分别向两个坐标轴作垂线段，围成的矩形的面积等于(\vert k\vert)。如果连接(OP)得到两个直角三角形的面积都等于(\frac{\vert k\vert}{2})，这就是(k)的几何意义。
师：下面我们一起来解决几个问题。练习一，如图，(A)、(B)两点在双曲线(y=\frac{4}{x})上，分别过(A)、(B)两点向坐标轴做垂线段，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形。已知(S_{阴影}=1)，则(S_1 + S_2)等于多少？
生：从点(A)向坐标轴做垂线段围成的矩形面积应该等于(\vert k\vert = 4)，即(S_1 + S_{阴影}=4)；从(B)点分别向(x)轴、(y)轴做垂线段围成的矩形面积等于(\vert k\vert = 4)，即(S_2 + S_{阴影}=4)。因为(S_{阴影}=1)，所以可以求得(S_1 = 3)，(S_2 = 3)，所以(S_1 + S_2 = 6)。
师：做对了吗？练习二，如图，过反比例函数(y=\frac{k}{x})图像上的一点(P)作(PA)垂直(x)轴于(A)。若(\triangle OPA)的面积为(6)，则(k)等于多少？
生：从图像可知(\triangle OPA)的面积应该等于(\frac{\vert k\vert}{2})，所以(\frac{\vert k\vert}{2}=6)，(\vert k\vert = 12)。因为这个图像位于二、四象限，所以(k\lt0)，则(k = -12)。
师：练习三。如图，点(A)是反比例函数(y=\frac{2}{x})（(x\gt0)）图像上的任意一点。(AB)平行于(x)轴交反比例函数(y=-\frac{3}{x})（(x\lt0)）的图像于点(B)。作以(AB)为边的平行四边形(ABCD)，其顶点(C)、(D)在(x)轴上，则平行四边形(ABCD)的面积为多少？
生：过点(A)和点(B)分别向(x)轴作垂线段，可以得到一个矩形(ABEF)。把小三角形(BCE)补到三角形(ADF)的位置，矩形(ABEF)的面积和平行四边形(ABCD)的面积一样。左边小矩形的面积，因为点(B)在函数(y=-\frac{3}{x})上，所以(k = -3)，这个小矩形面积等于(\vert -3\vert = 3)；右边小矩形面积等于(\vert 2\vert = 2)。所以矩形(ABEF)的面积等于(3 + 2 = 5)，即平行四边形(ABCD)的面积等于(5)。
师：下面我们一起来看例一。如图，一次函数(y = ax + b)的图像与反比例函数(y=\frac{k}{x})的图像交于(M)、(N)两点。一、求这两个函数的表达式；二、根据图像写出使反比例函数值大于一次函数值时(x)的取值范围；三、求(\triangle OMN)的面积。我们依次解决第一题，求这两个函数的表达式。要想求一次函数的表达式，需要确定哪些字母的值？