师：同学们大家好，欢迎走进周老师的数学课堂。请准备好学习任务单、笔和纸，下面开始上课。今天上新课前，老师先带领大家回顾上一节课所学知识及研究过程。大家记得吗？上节课我们从八年级的一个结论出发，八年级学过：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。也就是说，若(AD\parallel BE\parallel CF)，且(AB = BC)，我们就能得到(DE = EF)，这个定理有时叫平行线等分线段定理。
由这个定理出发，我们改变(BE)的位置，让特殊位置一般化，得到这样一个图形。在这个图形中，如果(AD\parallel BE\parallel CF)，我们可以得到(AB:BC = DE:EF)。我们把它称为基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，有时也叫平行线分线段成比例。
接着，我们继续改变两边截线的位置，比如改变截线(DF)的位置，让它从一般位置到特殊位置，得到右边这些图形。在这些图形中，只要(DE\parallel BC)，就都有(AD:DB = AE:EC)。这个叫推论，也就是平行于三角形一边的直线截其他两边或两边延长线，所得的对应线段成比例。这个推论告诉我们，只要(DE)与(BC)平行，无论(DE)在(AB)、(AC)上，还是在它们的延长线或反向延长线上，都有两侧的对应线段成比例。也就是说今后只要看到平行线，除了联想到角相等，还能联想到比例线段。
我们回到这个图形，刚才说到(DE\parallel BC)时，(AD:DB = AE:EC)，根据比例的性质还可得到(AD:AB = AE:AC)，也就是两侧的对应线段都成比例。那么(DE)与(BC)的比值，大家不妨按下暂停键思考一下，它能跟两侧的线段产生关联吗？
好，我们一起来分析这个问题的研究思路。(DE)与(BC)不在一条直线上，怎么产生之比呢？能不能把它们移到一条线上呢？由于(DE)与(BC)平行，我们不妨过点(E)作(AB)的平行线构造一个平行四边形，这时(DE)就平移到了(BF)的位置，(DE)与(BC)的比值就变成了(BF)与(BC)的比值。
在(\triangle ABC)中，因为(AB\parallel EF)，所以(BF)与(BC)的比值就等于(AE)与(AC)的比值，这样就关联起来了。下面我简要书写一下刚才的探究思路：过点(E)作(EF\parallel AB)，交(BC)于点(F)，则四边形(DBFE)为平行四边形。这时(DE:BC = BF:BC = AE:AC)，自然也等于(AD:AB)，这样水平的两条线段就跟两侧的线段产生了关系。
也就是说，在(\triangle ABC)中，(DE\parallel BC)，不仅有上节课研究的(AD:DB = AE:EC)，(AD:AB = AE:AC)，还有(DE:BC = AE:AC = AD:AB)。大家观察一下红色字体的(6)条线段，上面三条正好是(\triangle ADE)的三条边，底下三条正好是(\triangle ABC)三条边。这组比例式告诉我们，(\triangle ADE)与(\triangle ABC)三边对应成比例。
我们知道，从条件出发，结合图形，在(\triangle ADE)和(\triangle ABC)中，还有(\angle A = \angle A)，(\angle ADE = \angle ABC)，(\angle AED = \angle ACB)。也就是说这两个三角形三组角也对应相等，三边对应成比例，三组角对应相等，这两个三角形的关系如何？你能想到什么呢？
对，刚才的这些结论就说明了这两个三角形相似。什么叫三角形相似呢？老师带领大家回顾一下本章第一课时所讲到的相似多边形的概念。前面我们学过，一般的两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。也就是说，如果两个三角形，只要对应角相等，对应边长度的比相等，这两个三角形就相似；或者说如果有两个四边形，它们的对应角相等，四条边对应长度的比相等，这两个四边形相似。
因此，根据相似多边形的定义，在(\triangle ABC)和(\triangle A'B'C')中，如果(\angle A = \angle A')，(\angle B = \angle B')，(\angle C = \angle C')，且(AB:A'B' = BC:B'C' = AC:A'C')，我们根据定义就可得到(\triangle ABC)与(\triangle A'B'C')相似，记作(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C')，读作“(\triangle ABC)相似于(\triangle A'B'C')”。
这里大家注意，相似的这个符号表示跟我们原来所学的全等有相似的地方。原来的全等由两个符号组成，上面是一个躺着的(S)表示两个三角形状相同，底下一个等号表示两个三角形大小相等，形状相同、大小相等就是全等。相似只要求形状相同，因此我们只保留上面一个躺着的(S)来描述两个三角形相似。
在用这样的相似符号来表示两个三角形相似时，大家要注意对应顶点要写在对应的位置上，比如(\angle A = \angle A')，所以点(A)与点(A')对应。因此当(A)放在第一个字母的位置，(A')也应放在第一个字母的位置。也就是说，两个三角形相似，用字母表示时与全等一样，通常把表示对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样找出相似三角形的对应角和对应边就很方便了。
好，回到刚才研究的问题，根据刚才研究的结果，只要(DE\parallel BC)，(\triangle ADE)就相似于(\triangle ABC)。我们继续研究这个图形，在图中(DE)在(AB)和(AC)上，(DE\parallel BC)，(\triangle ADE)相似于(\triangle ABC)。如果(DE)的位置在(AB)和(AC)延长线上，如图(2)所示，(\triangle ADE)还相似于(\triangle ABC)吗？答案是肯定的。
图(2)实际上跟图一是一样的，(DE)平行于(BC)时，(\triangle ADE)仍然相似于(\triangle ABC)。继续改变(DE)的位置，如果(DE)在(AB)和(AC)反向延长线上且(DE)平行于(BC)，(\triangle ADE)还相似于(\triangle ABC)吗？大家可按下暂停键独立尝试探究一下是否还相似。
好，老师来给大家分析一下结论。这个问题要证明，关键还是要让(DE)与(BC)的比值跟两侧的线段产生关系，因为(DE)平行于(BC)以后，这两个三角形三个角对应相等是肯定的，(AE:AC = AD:AB)也是肯定的。因此证明的关键是(DE:BC)，只要等于(AE:AC)或(AD:AB)就可以了。
怎么让(DE)与(BC)能产生比呢？我们根据前面所学的知识，只要能让它们到一条直线上就可以了。仍然借助平移，我们不妨过点(E)作(EF\parallel DB)，交(CB)的延长线于(F)。这时四边形(DBFE)就是平行四边形，得到平行四边形以后，(DE)就跟(BF)相等了，那么(DE)与(BC)的比值就变成了(BF)与(BC)的比值。在(\triangle EFC)中，由(AB\parallel EF)，(BF)与(BC)的比值就等于(AE)与(AC)的比值，刚才要证明的关键就解决了。这时(DE:BC = BF:BC = AE:AC)也就等于(AD:AB)，三边对应成比例，三组角对应相等，此时(\triangle ADE)仍然相似于(\triangle ABC)。
好，还有其他的证明思路吗？大家可按下暂停键思考一下，你还能找到哪些证明方法？
好，老师给大家再提供两种思路。第一种，过点(D)作(DF\parallel EC)交(BC)的延长线于点(F)。与刚才的证明思路一样，过程我不说，大家课下可以去思考。我们还可以在(AB)或(AB)的延长线上截取(AM = AD)，然后过(M)作(MN\parallel BC)，交(AC)或(AC)延长线于点(N)。此时(\triangle AMN)一定跟(\triangle ABC)相似，又容易证(\triangle AMN)全等于(\triangle ADE)，这样就能得到(\triangle ADE)相似于(\triangle ABC)了。
无论是用哪一种方法，我们都能得到在图(3)中，如果(DE\parallel BC)，那么(\triangle ADE)相似于(\triangle ABC)。也就是说(DE)与(BC)平行，(DE)两个顶点无论在(AB)、(AC)上，还是在(AB)、(AC)的延长线上，还是在(AB)、(AC)的反向延长线上，它所截得的三角形与原三角形都相似。
这就是今天这节课我们要得到的一个重要结论：平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，截得的三角形与原三角形相似。今后在条件中看到了平行线，除了能想到角相等、对应线段成比例，我们还可想到三角形相似。
下面我们就利用这个结论来解决以下几个问题。
一、如图，直线(L_1\parallel L_2\parallel L_3)。直线(AC)分别交(L_1)、(L_2)、(L_3)于点(A)、(B)、(C)。直线(DF)分别交(L_1)、(L_2)、(L_3)于点(D)、(E)、(F)，(AC)与(DF)相交于点(G)。请写出与(\triangle GEB)相似的三角形，大家可按下暂停键思考一下跟(\triangle GEB)相似的三角形有哪些。
好，下面老师来给大家公布答案。这里有三组线平行，由(L_1\parallel L_2)，这时可以得到(\triangle GEB)相似于(\triangle GDA)，这个图形结构跟刚才所说的图(3)是一致的。又由(L_2\parallel L_3)，在(\triangle GFC)中我们可得(\triangle GEB)相似于(\triangle GFC)。也就是说，在此图中，与(\triangle GEB)相似的三角形有两个，你做对了吗？
好，我们继续看。
问题二，在平行四边形(ABCD)中，(E)是(AD)延长线上一点，(BE)交(AC)于点(F)，交(DC)于点(G)。请写出与(\triangle EDG)相似的三角形。请大家按下暂停键，先独立思考。
好，老师来给大家分析一下本题的条件，只有平行四边形。根据平行四边形的定义，有(AD\parallel BC)，(DC\parallel AB)，有两组边分别平行，有平行线我们就容易想到相似三角形。由(DC\parallel AB)，此时可以得到(\triangle EDG)相似于(\triangle EAB)。由(DE\parallel BC)可得到(\triangle EDG)相似于(\triangle BCG)，你做对了吗？