师：同学们，大家好。今天我们要学习的内容是相似三角形的判定的第二课时。上一节课我们探讨了相似三角形判定的预备定理，现在我们有哪些方法判定两个三角形相似呢？我们已经学习了相似三角形的定义和预备定理，都可以用来判定两个三角形相似。预备定理告诉我们，平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线截得的三角形与原三角形相似。
如图1，DE平行于BC，可得△ADE相似于△ABC。同样在图2中，因为DE平行于BC，也可得△ADE相似于△ABC 。
图3当AD和AE落在边AB、AC的反向延长线上时，若DE与BC平行，依然有△ABC相似于△ADE。这里要注意点的对应关系。我们知道用预备定理判定三角形相似，对三角形的位置是有特殊要求的。以上三图为例，AD和AE应当落在边AB、AC或其延长线上。若将△ADE从△ABC中平移出来，形成右侧的两个图，我们如何判定两个三角形相似呢？从平移我们知道平移前后两个图形全等，△ADE和△ABC相似，那平移出来的三角形依然和原三角形相似。我们还知道平行能带来角相等，也能带来线段的成比例关系。
现在怎样给出条件，可以判定右图中的两个三角形相似？根据刚才的猜想，如果两个角相等，能判定两个三角形相似吗？依据猜想要证明△ABC和△A'B'C'相似，如何添加条件？我们可以设置如下条件，在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'。
求证△ABC相似于△A'B'C'。如何证明我们的猜想？它由判定三角形相似的预备定理而来。预备定理中是由平行得到三角形相似的，而平移前后两个三角形是全等的。如果我们能够在△ABC上构造一个和△ABC相似的三角形，且这个三角形又能和△A'B'C'全等的话，我们就可以说明△A'B'C'和△ABC是相似的。那么如何构造△ADE和△ABC相似呢？由预备定理，只需要DE平行于BC就可以实现△ABC相似于△ADE。如何实现全等呢？我们知道全等的判定需要有边的对应相等，所以我们可以在AB或其延长线上截取AD和A'B'相等，这样就能得到△ADE和△A'B'C'的全等关系，进而就可以得到△A'B'C'相似于△ABC。请同学们思考构造的过程，用语言准确地表达出来，并完成后续的证明过程的书写。下面我们一起来看证明过程。
先完成构造，在△ABC的边AB或其延长线上截取AD = A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则△ADE相似于△ABC，相似已经构造出来了。如何证明全等？因为∠ADE = ∠B，∠B = ∠B'，所以∠ADE = ∠B'。又因为∠A = ∠A'，AD = A'B'，所以△ADE≌△A'B'C'，全等的判定方法是ASA，进而可得△ABC相似于△A'B'C' 。
在这里，同学们思考为何在构造时我们要用括号备注，可能在AB的延长线上呢？我们知道相似只要求三角形的形状相同，对其大小并无要求，所以在此图中A'B'是小于AB的，但实际的证明过程中A'B'有可能大于AB，所以截取AD和A'B'相等，那么点D有可能落在AB的延长线上。
PPT上老师给出了提示，同学们可以试一试，有没有别的截取方法能够避免在延长线上截取呢？我们可以类比余切定理中的第三个图，在线段AB的反向延长线上截取AD = A'B'，再过点D作DE平行于BC，这样就可以避免在延长线上来构造AD和A'B'的相等了。
通过证明，我们发现我们的猜想是正确的，所以就得到了三角形相似的第一个判定定理。如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可以简单说成：两角分别相等的两个三角形相似。如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，那么△ABC相似于△A'B'C' 。
现在如果我们需要说明两个三角形相似，同学们可以怎样寻找条件呢？当然根据预备定理，如果有平行依然可以得相似。根据我们的判定定理一，如果能在两个三角形中找到两组角分别对应相等，也可以用来判定三角形相似。下面我们一起来熟悉常见的用两角证明相似的图形结构。如图，∠A是公共角，∠ADE = ∠B，可以判定△ABC相似于△ADE ，还可以给其他的条件吗？∠A是公共角不用添加，还可以给∠AED = ∠C也是可以的。我们对图一做出变形。
在图2中，∠AOB与∠COD是对顶角，若再添加∠B = ∠C，可得△AOB相似于△DOC，这两个三角形我们很熟悉，因为它们就是相似三角形预备定理中的基本图形，所以除了给角相等以外，还可以用平行给出条件。我们对这个图再做变形，将△ADE沿角平分线翻转，∠A依然是公共角，若∠E和∠B相等，可得△AED相似于△ABC。
对上图2做出同样的翻转，依然有对顶角，如果给出∠A = ∠B，亦可得△AOC相似于△BOD。对下图再做变形，当点E与点C重合时，∠A同样是公共角，若∠E = ∠B依然可有相似。继续变形，在上面常见图形的条件探索中，我们发现除了题目本身给的条件以外，图形本身也会时常有公共角、对顶角等已知信息。认识了常见的图形结构，下面我们来解决具体的实际问题。
一、在△ABC和△A'B'C'中，∠C = ∠C' = 80°，∠A = 35°，∠B' = 65°。求证△ABC相似于△A'B'C'。请同学们独立思考，尝试解决本题。由题可知，∠C = ∠C'，我们只需要再找到一组角相等，即可证明两个三角形相似。如何求解？容易发现在△A'B'C'中已有∠C'和∠B'，我们可以借助三角形内角和定理求出∠A'的度数，进而判断是否相似。下面我们一起来看证明过程。