师：同学们，大家好。前面我们已经学习过相似三角形的概念及其判定方法。首先请同学们复习回顾，什么样的两个三角形是相似三角形呢？
生：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形。
师：那判定两个三角形相似有几种方法？
生：平行可推导相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。还有专属于特殊直角三角形的判定方法：一条斜边和一条直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似。
师：沿着几何图形研究的一般路径，接下来我们自然就想去研究它的性质。除了定义之外，相似三角形还会有其他性质吗？我们知道三角形中三条边、三个角是它的基本元素，除此之外，三角形还会有一些相关要素，比如三条重要线段：高线、角平分线以及中线。如果这两个三角形相似，那么对应边上的高、对应角的角平分线以及对应边上的中线，它们会有关系吗？让我们带着疑问先来解决这样一个问题。如图，三角形ABC相似于三角形A'B'C'，AD是BC边上的高，A'D'是B'C'边上的高。如果相似比为k，那么这组对应高的比值会是多少呢？显然，出现高之后，原来的三角形就被分割成了左右两个小直角三角形。要想知道AD与A'D'的比值，需要把这两条线段放入两个相似的直角三角形中，你会怎么去证明呢？
生：因为原来的三角形相似，所以角B和角B'是对应相等的。又因为两条高，所以角BDA和角B'D'A'都是90度，也是相等的。我们就可以证明三角形ABD与三角形A'B'D'相似，所以AD与A'D'的比值和AB与A'B'的比值是相同的，也是相似比。
师：研究完了高线，我们将点D的位置往左边拉动，恰好在某个位置，AD平分角BAC。同学们再思考看看，角平分线的比值怎么求呢？
生：有了刚才的经验，我们知道也需要把这两条对应线段放入某对三角形中。
师：好的，我们一起尝试来证明左边这对三角形相似吧。因为三角形ABC相似于三角形A'B'C'，所以角B等于角B'，角BAC等于角B'A'C'。因为AD平分角BAC，所以角1是角BAC的一半，同理角2也是角B'A'C'的一半。自然的，角1和角2就相等了。又因为角B等于角B'，所以三角形ABD就相似于三角形A'B'D'，最后得出两条角平分线的比值也是相似比。在这里我们证明三角形相似的依据和刚才完全一致，都是利用了判定定理一：两角分别相等，两个三角形相似。现在我们继续把点D往左边移动，使得D成为BC中点。那么请大家想一想，要想求得两条中线的比值，还能和刚才一样操作吗？还能找到两角相等吗？由于D是中点，我们可以得出BD和BC之间满足的数量关系。如何通过这种关系来突破新的相似三角形证明的难点呢？
生：因为三角形ABC相似于三角形A'B'C'，所以角B等于角B'，AB比上A'B'，BC比上B'C'，这两个比值是相等的，都是k。因为D是BC的中点，所以BD的长度是整个BC长度的一半，同理B'D'也是一半。于是我们就得到BD与B'D'的比值同样是k，所以AB与A'B'的比值、BD与B'D'的比值就相等了。又因为角B等于角B'，所以左边两个三角形相似，进而得到两条中线的比值仍然是相似比。
师：在这里我们判定相似的依据和前面不同，使用的是判定定理：两边对应成比例，且夹角相等。由此我们证明出了三条重要线段的比值都是相似比。给出性质定理一：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，它的符号表示为（对应中线和对应角平分线与之类似）。同学们是否理解这个定理内容？
生：懂了。
师：那我们来完成一道练习题。已知三角形ABC相似于三角形A'B'C'，BC长为3.6厘米，B'C'长为6厘米。如果三角形ABC中的中线AE长为2.4厘米，那么对应的中线A'E'长是多少呢？
生：显然对应中线的比就是相似比。列出比例式，我们很容易求得A'E'长为4厘米。
师：同样的，这两个三角形的对应角平分线之比也就出来了。但请同学们注意，相似比是有顺序的。第二小问中两个三角形的顺序有更改，所以答案应该是5/3。好的，经过练习题的巩固，相信同学们对性质定理的理解更加深刻了，接下来我们一起来解决几个实际的问题吧。例一，如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子是CD，AB平行CD，AB等于2，CD等于5，点P到CD的距离为3，求出点P到AB的距离。看到这个问题，先来梳理条件，平行在这里可以推导出什么样的结论呢？
生：两个三角形相似。
师：条件中还给出了三个长度值，分别是AB、CD，还有一个距离，可是图形当中并没有显现点P到CD的距离，并且我们要求的也是点P到它平行线间的距离，那这两个距离该如何去找？又如何在图中表示出来呢？
生：过点P作CD的垂线，垂足为F，垂线段PF的长度就是距离。而PF与AB的交点，我们令它为E点。根据两直线平行同位角相等，很容易证明这里的角PEB也是90度，所以PE也是垂线段，是三角形PAB的高。
师：给出解答过程，因为平行所以相似，继而就能得到PE与PF的比值和AB与CD的比值是相等的，左边是对应高的比，右边是对应边的比，它们都是相似比。再代入数据可以解得PE长为6/5。挑战升级，请同学们继续探究。如图所示，三角形ABC是一块锐角三角形底料，已知BC和BC边上高的具体长度值。现在我们要把它加工成一个正方形零件，使得正方形的一条边落在BC边上，其余的两个顶点分别在AB、AC边上，那么这个正方形的边长会是多少呢？
生：边HG落在BC上，顶点E落在AB边上，顶点F在AC上。这里的AD和EF是有交点的，我们把这个交点称为P点，需要咱们求解的正方形边长令它为x厘米。AD是三角形ABC高，AP会是小三角形AEF的高，跟刚才类似，我们也容易得出角APF是90度，AP确实是小三角形AEF的高。由此我们看到图形当中存在两条对应高。在正方形EFGH中，EF是平行于HG的，因为HG落在BC边上，所以EF也就平行于BC，所以三角形AEF相似于三角形ABC。进而根据今天的性质定理，结论两条对应高的比值和两条对应边的比值是相等的，也就是AP比AD等于EF比BC。
师：带入数值之前，我们仔细观察会发现小三角形的高AP，它的长度应该是拿整个高AD再减去PD。而PD的长和正方形的边长相同，所以AP它的长就是80减去x。代入数据之后容易解得x等于48。好的同学们，现在我们在原题的基础上变一变条件，请大家继续思考，解决一个新问题。还是这块锐角三角形底料，BC和AD的长度保持不变。现在我们把加工后的零件形状由正方形改为矩形，令矩形的长宽比是2:1。同样的，依然让矩形的一条边落在BC上，剩下两个顶点还是在AB、AC上。同学们，你能求出这个矩形的长和宽吗？