师：同学们，大家好。上节课我们学习了相似三角形的性质定理，一起回忆下。相似三角形三条重要线段之比都等于相似比，而且我们还进行了推广，相似三角形所有对应线段之比都等于相似比。今天这节课，我们继续研究相似三角形的其他性质。对于一个具体三角形，除了三边、三角以及中线、高线、角平分线这些重要线段，还有什么可研究的呢？
生：周长和面积。
师：对，由上节课经验，我们提出猜想，相似三角形的周长比、面积比也会是相似比吗？如图，三角形ABC相似于三角形A'B'C'，若相似比为k，那么周长比值是多少呢？大家想想。
生：因为两个三角形相似，三条对应边比值都是k，利用等比性质可得周长之比是k。
师：非常好。再来研究面积之比，求面积得确定底边，选定BC和B'C'，作出它们边上的高。因为两三角形相似，对应边比、对应高比都是相似比。写出两个三角形面积算式，约去1/2，拆开分式，就得到面积比是k2。面积比是相似比的平方，和之前预想不同，为什么周长比是k，面积比却是k2呢？谁能解释下？
生：周长是对应线段的和，面积是对应线段的积。
师：没错，于是我们得到了性质定理后两条：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。为更好理解定理，看个简单问题。如图，三角形ABC中，D、E分别是两边中点，那么三角形ADE和三角形ABC周长比、面积比各是多少？大家先分析关键信息。
生：两个中点连线是中位线，平行于第三边且是第三边一半，由平行得相似，相似比是1 : 2，所以周长比是1 : 2，面积比是1 : 4。
师：很好，DE把三角形分成上下两部分，这两部分面积之比是多少呢？
生：把上方三角形ADE看作一份，整个三角形ABC是4份，下面四边形是3份，面积之比是1 : 3。
师：现在更改D、E位置，将DE从中点变成三等分点，此时周长比和面积比又是多少呢？
生：把AD看成两份，DB是一份，AB是3份，AD与AB比值是2/3 。因为DE平行BC，两三角形相似，周长比是对应边比2/3 ，面积比是对应边比的平方4/9。
师：那此时上下两部分面积之比呢？
生：把上面三角形看作4份，整个三角形是9份，下面四边形是5份，面积之比为4 : 5。
师：我们知道一条线段有两个三等分点，现在给出另外一对三等分点M、N 。把M点放在线段AB中是三等分点，放在线段AD上是中点。这道题其实是把刚才两小题合二为一了，一起解决。
生：由题意三条线段AM、MD、DB相等，因为平行得到三个三角形相似，小三角形和中间三角形面积比是1 : 4，小三角形和整个三角形面积比是1 : 9。把最小三角形看作一份，中间四边形是3份，下方四边形是5份，面积之比是1 : 3 : 5。
师：刚才讨论的是已知线段比推导面积比，现在逆向思考，如果给出面积之比，能求出对应线段比吗？
生：依据平行得相似，面积比是对应边之比的平方，选择AD和AB，因为上下两部分面积相等，上面三角形ADE和整个三角形面积之比是1 : 2，开方后对应边之比是1 : √2，再依据线段和差得到最终比值是√2 + 1。
师：小结下，这里线段DE把三角形分成上下两部分，面积比是1 : 1，点D把线段AB分成上下两部分，线段之比是√2 + 1 : 1。继续引申，如果三角形改成四边形，还是一条平行线段把四边形分成面积相等两部分，求左边线段比值，大家思考下。
生：构造三角形，连接AC或BD分割，或延长左右对边补三角形。连接AC，EF平分面积条件价值不大，AB和CD平行线段比值条件也不好用，所以选择延长DA和BC，交点为O。由平行线传递性得到三条线段平行，三个三角形相似。最小三角形OAB和最大三角形ODC相似比是1 : 3，面积比是1 : 9，把OAB面积看作一份，大三角形ODC面积是9份，四边形ABCD面积是8份。因为EF平分四边形面积，上下两个小四边形面积各是4份。三个三角形面积之比是1 : 5 : 9，对应边之比是1 : √5 : 3，设OA为k，OE是√5k，OD为3k，根据线段和差得到AE和ED，最终比值是(√5 + 1)/2 。
师：AE长是(√5 - 1)k，DE长是(3 - √5)k，较短线段DE与较长线段AE比值是多少？
生：(√5 - 1)/2 ，点E是线段AD的黄金分割点。
师：接着讨论，DE和BC平行，三角形ADE和三角形BDE面积比是1 : 4，这两个三角形相似吗？