师：同学们好，今天我们一起来学习第二十二章第四节图形的位似变换第一课时。前面我们已经学习了图形的哪些变换？
生：平移、轴对称。
师：平移和轴对称变换，它们的共同特点是什么？
生：把一个图形变化成一个与原来图形的形状和大小都相同的图形，这是全等变化，只是位置不同。
师：在日常生活中，有时需要把一个图形放大或缩小，例如放映机放映幻灯片，把幻灯片图案放大到屏幕上；照相馆里，摄影师通过照相机把实物图案缩小到底片上。我们把形状相同的两个图形称为相似形。那能否利用相似把一个图形放大或者缩小呢？例一，把四边形ABCD放大为原来的两倍，即新图与原图的相似比为2。我们可以通过测量边长、角度计算来画，也可以先画方格网辅助画图。这样做有什么不好的地方？
生：费时费力、易出错。
师：能不能找到更为简便的方法呢？我们在物理中学了小孔成像，从中你能得到什么启发呢？如果物到小孔的距离不变，如何改变像A'B'的大小呢？
生：改变光屏到小孔的距离。
师：如果A'B'的长正好是AB的两倍。请大家猜想小孔到光屏的距离和小孔到实物的距离是什么关系？
生：小孔到光屏的距离正好是小孔到实物距离的两倍。
师：在图中是怎么体现的？
生：OA'等于两倍的OA，OB'等于两倍的OB。
师：小孔在物体和像之间，是物体和像对应点的交点，我们可以利用小孔成像的原理来作图。首先找到小孔，即确定点O的位置，做光线即做射线AO。在以O为端点的射线上找IO长度两倍的位置，依次重复把B、C、D的对应点都找到，然后顺次连接对应点，就得到了所要求作的图形。做好了，我们来看看做法。第一步，在四边形ABCD所在的平面内，任取一点O，分别以点A、B、C、D为端点作射线AO、BO、CO、DO。分别在射线AO、BO、CO、DO上取点A'、B'、C'、D'，使OA'/OA = OB'/OB = OC'/OC = OD'/OD = 2 。顺次连接点A'B'、C'D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求作的图形。
师：这种做法是把小孔及对应点连线的交点放在两个图形之间，还有别的做法吗？刚才讲了，用放映机放映幻灯片时，把幻灯片上的图案放大到屏幕上。在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系呢？
生：它们是相似的。
师：幻灯机相当于小孔，图形在幻灯机的同侧，我们也可以利用这种情况来作图。首先找到放映机的位置，确定点O的位置，作射线OA ，以O为端点，在射线OA上找OA长度两倍的位置。依次重复把B、C、D的对应点都找到，然后顺次连接对应点，就得到了所要求作的图形。做法，在四边形ABCD所在的平面内，任取一点O，分别以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD。分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A?'、B?'、C?'、D?' ，使OA?'/OA = OB?'/OB = OC?'/OC = OD?'/OD = 2 。顺次连接点A?'、B?'、C?'、D?'，所得四边形A?'B?'C?'D?'就是所要求作的图形。大家要注意两种做法的区别。在上面的两个图中所得到四边形A'B'C'D'相似于四边形ABCD，你能说明道理吗？
生：利用相似三角形的知识可以得到三角形OAB相似于三角形OA'B'，三角形OBC相似于三角形OB'C'，三角形OCD相似于三角形OC'D'，三角形ODA相似于三角形OD'A'。可以得到这两个四边形的对应边成比例，对应角相等的多边形是相似多边形，这样就可以判定四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'。
师：观察两个图形，从图形的位置上和数量上找它们的特征。
生：从图形的位置上来看，每组对应点所在的直线都经过同一个点。从数量上来看，每组对应点到交点的距离的比值都相等。
师：同时满足下面两个条件的两个图形叫做位似图形：一、每组对应点所在的直线都经过同一个点；二、每组对应点到位似中心的距离的比值等于相似比k。这一点告诉我们，这两个图形是相似的，两个条件缺一不可。今后判断两个图形是否是位似图形，要把握住两点，一是两个图形是相似形，二是对应点的连线经过同一个点。这一个点就叫做位似中心。比值等于两个相似形的相似比，相似变化是特殊的几何变化，位似变化是特殊的相似变化。位似图形是具有特殊位置关系的相似图形。位似图形一定是相似形，但相似形不一定是位似图形。目前所学的几何变化有平移、轴对称、相似三种。平移、轴对称变化前后图形是全等的，相似变化前后所得到的图形不一定全等。已知四边形ABCD相似于四边形A?B?C?D?，请判断下图中每组的两个图形是不是位似图形？若是，请指出位似中心。
生：判断两个图形是不是位似图形，要把握住两点，一是两个图形相似，二是两个图形对应点的连线经过同一个点。现在题目已经告诉我们这两个四边形相似了，只要看它们对应点的连线是否经过同一个点。第一个图形是位似图形，位似中心P?；第二个图形是位似图形，位似中心P?；第三个图形是位似图形，位似中心P?；第四个图形是位似图形，位似中心P?；第五个图形是位似图形，位似中心A。
师：想一想，在位似图形中，位似中心可能有几种情况呢？
生：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个图形的同侧、异侧，图形的内部、边上或顶点上，可以在任何位置。
师：如图，正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是位似图形吗？
生：正方形ABCD与正方形A'B'C'D'肯定是相似的。判断它们是不是位似图形，就要看对应点的连线是否经过同一个点。这两个图形是位似图形。
师：如图，三角形ABC与三角形ADE是相似图形吗？
生：先看第一个图，由DE平行BC可知两个三角形相似，其中点A与点A、点B与点D、点C与点E是对应点。从图中可以看出对应点的连线经过点A，所以第一个图形是位似图形。再看第二个图形，由条件∠ADE = ∠B可知两个三角形相似，点A与点A，点B与点E，点C与点D是对应点的连线，没有经过同一个点，这两个图形不是位似图形。
师：判断下列各对图形哪些是位似图形哪些不是？先看第一题。在平行四边形ABCD中，三角形ABO与三角形CDO这两个三角形是相似图形。点A与点C对应，点B与点D对应，点O与点O对应，对应点A、C，B、D的连线都经过O点，符合定义，是位似图形。看第二题，题目中已经告诉我们这两个图形中的两个五边形是相似形。很显然，第一个图形中各对应点的连线都经过点O，所以第一个图形是位似图形。第二个图形中点A与点A'，点B与点B'，很显然不是对应点，即使它们的连线都经过点O，不符合定义中的对应点的连线经过同一点这一条，第二个图形不是位似图形。位似也可用于把图形缩小，如用小平板仪测绘小范围区域时，就是这样做的。例2，如图四边形ABCD是一个待测绘的小区，在区内选一个测绘点O，作出四边形ABCD的缩小四边形A?B?C?D? 。将图板上测绘图纸的点O?对准测绘点O，再由O?对准点A、B、C、D 。在纸上作射线O?A、O?B、O?C、O?D 。分别测得点O到点A、B、C、D的距离，并按同一比例缩小，在图纸上对应射线上定出点A?、B?、C?、D? 。依次连接A?B?、B?C?、C?D?、D?A? ，即得该小区缩小的平面图。这样我们就把较大的图形进行了缩小。做一个五边形和已知五边形位似，要求位似中心取在已知五边形的一个顶点处，相似比为1/2 。位似中心取在已知五边形的一边上，相似比为3 。先看第一个题，位似中心取在已知五边形的一个顶点处，相似比为1/2 。我们把C点作为位似中心，连接CA、CE、CB、CD ，CD是五边形的边，不用连接。取CA、CB、CE的中点A'、B'、D'、E' 。顺次连接A'B'、CD'、E'A'，就得到所要求作的五边形。刚才所做的位似图形在位似中心的同侧，相当于幻灯片放映图片的那种做法，还有仿照小孔成像的做法。位似图形位于位似中心的两侧，它又该怎样做呢？作射线AC、BC、DC、EC ，在射线AC、BC、DC、EC上截取A'E'/CA = B'E'/CB = D'E'/CD = E'E'/CE = 1:2 ，顺次连接A'B'、CD'、E'A'，就得到所要求作的五边形。规律总结，对应点在位似中心同侧的位似图形叫做同向位似图形。对应点在位似中心异侧的位似图形叫做反向位似图形。做一个图形关于某已知点的位似图形时，位似图形往往可以做两个，同向位似图形和反向位似图形。