师：大家好，这节课我们开始锐角三角函数第二课时的学习。上节课我们通过坡面的倾斜程度，共同学习了正切和坡度。请回忆它们的具体内容。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$的对边与邻边的比叫做$\angle A$的正切，记作$\tan A$，即$\tan A = \frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$。
坡面与水平面的夹角叫做坡角，也称为倾斜角，图中的$\angle\alpha$就是坡面$AB$的坡角。
坡面的铅直高度与水平长度的比称为坡度，也称为坡比，记为$i = \frac{h}{l} = \tan\alpha$。坡度通常写成$h : l$这种比例的形式。坡度$i = \tan\alpha$越大，坡角$\alpha$就越大，坡面就越陡。
当直角三角形中锐角确定之后，其它边之间的比也确定吗？这节课我们就来探讨这个问题。
如图，在锐角$\angle A$的一边上任取一点$B$，自点$B$向另一边作垂线，垂足为$C$，得到$Rt\triangle ABC$；再任取一点$B_1$，自点$B_1$向另一边做垂线，垂足为$C_1$，得到另一个$Rt\triangle AB_1C_1$。这样我们可以得到无数个直角三角形，它们有什么关系呢？显然是相似的。
在这些直角三角形中，锐角$\angle A$的对边与斜边的比$\frac{BC}{AB}$、$\frac{B_1C_1}{AB_1}$、$\frac{B_2C_2}{AB_2}$，以及锐角$\angle A$的邻边与斜边的比$\frac{AC}{AB}$、$\frac{AC_1}{AB_1}$、$\frac{AC_2}{AB_2}$，有怎样的关系呢？
根据相似三角形的对应边成比例可得：$\frac{BC}{AB} = \frac{B_1C_1}{AB_1} = \frac{B_2C_2}{AB_2}$，$\frac{AC}{AB} = \frac{AC_1}{AB_1} = \frac{AC_2}{AB_2}$。
由此我们得到，在$Rt\triangle ABC$中，当锐角$\angle A$的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，$\angle A$的对边与邻边的比值，$\angle A$的邻边与斜边的比值总是唯一确定的。
上面的结论告诉我们，直角三角形中锐角固定，那么这个锐角的对边与斜边的比，以及这个锐角的邻边与斜边的比都是固定的。如果锐角的大小变化了，这个比值会怎样呢？
我们观察几何画板的演示。在$Rt\triangle ABC$中，我们改变锐角$\angle A$的大小，$\frac{BC}{AB}$和$\frac{AC}{AB}$的值也随之改变。并且对于$\angle A$的每一个值，$\frac{BC}{AB}$和$\frac{AC}{AB}$都有唯一确定的值与之对应。
类比上节课学习的正切，这些变量之间也存在一种函数关系。于是我们得到正弦、余弦函数的定义：
在$Rt\triangle ABC$中，锐角$\angle A$的对边与斜边的比叫做$\angle A$的正弦，记作$\sin A$，即$\sin A = \frac{\angle A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}$。
在$Rt\triangle ABC$中，锐角$\angle A$的邻边与斜边的比叫做$\angle A$的余弦，记作$\cos A$，即$\cos A = \frac{\angle A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}$。
锐角$\angle A$的正弦、余弦和正切，都是$\angle A$的三角函数。当锐角$\angle A$变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。
关于锐角$\angle A$的正弦、余弦和正切，我们需要注意以下几点：
$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$是在直角三角形中定义的，$\angle A$是锐角，注意数形结合，构造直角三角形。
$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$是一个完整的符号，表示$\angle A$的三角函数。习惯省去角的符号，但表示$\angle BAC$、$\angle1$的三角函数时，这种情况角的符号不能省略。
$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$是一个比值，没有单位，且$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$均大于$0$。
$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$的大小只与$\angle A$的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
接下来我们共同看几个例题。
例一，如图，在$Rt\triangle ABC$中，两直角边$AC = 12$，$BC = 5$，求$\angle A$的各个三角函数值。
本题要想求$\angle A$的各个三角函数值，我们需要知道$Rt\triangle ABC$的三边。已知两直角边$AC = 12$，$BC = 5$，根据勾股定理，我们可以求出斜边$AB$。
根据锐角三角函数的定义可得：
$\sin A = \frac{\angle A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}$；
$\cos A = \frac{\angle A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$；
$\tan A = \frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边} = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}$。
我们继续看例2。
如图，在平面直角坐标系内有一点$P$，它的坐标是$(3, 4)$，连接$OP$，求$OP$与$x$轴正方向所夹锐角$\alpha$的各个三角函数值。
我们需要构造含锐角$\alpha$的直角三角形。如何构造这个直角三角形呢？
因为点$P$的坐标是$(3, 4)$，过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$Q$。在$Rt\triangle PQO$中，$OQ = 3$，$QP = 4$，$\angle Q = 90^{\circ}$，$OP = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
所以$\sin\alpha = \frac{QP}{OP} = \frac{4}{5}$；
$\cos\alpha = \frac{OQ}{OP} = \frac{3}{5}$；
$\tan\alpha = \frac{QP}{OQ} = \frac{4}{3}$。
我们继续看例三，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\tan A = \frac{1}{2}$，求$\sin A$、$\cos A$、$\sin B$、$\cos B$、$\tan B$，即求$\angle A$、$\angle B$的三角函数值。
我们需要知道$Rt\triangle ABC$的三边长。本题中只给出$\tan A = \frac{1}{2}$，如何得到$Rt\triangle ABC$的三边长呢？
已知$\tan A = \frac{BC}{AC}$，所以$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$。
我们设$BC = k$，$AC = 2k$，其中$k > 0$，则根据勾股定理可得$AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{k^{2} + (2k)^{2}} = \sqrt{5}k$。
所以$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2k}{\sqrt{5}k} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2k}{\sqrt{5}k} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2k}{k} = 2$。
我们再来看例4，如图，在菱形$ABCD$中，$DE\perp AB$于点$E$，$\cos A = \frac{3}{5}$，$BE = 4$，求$\tan\angle DBE$。
因为$DE\perp AB$，所以$\angle AED = \angle DEB = 90^{\circ}$。$\tan\angle DBE$可以在$Rt\triangle BDE$中求得，因为$\tan\angle DBE = \frac{DE}{BE}$，$BE = 4$，所以只要求出线段$DE$的长度，问题就可解决。
如何求得$DE$呢？本题还给出了条件$\cos A = \frac{3}{5}$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\cos A = \frac{AE}{AD} = \frac{3}{5}$。我们可以设$AE = 3k$，$AD = 5k$，其中$k > 0$。
根据勾股定理可以求得$DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = \sqrt{(5k)^{2} - (3k)^{2}} = 4k$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD = AB$，即$AD = AE + BE$，所以$5k = 3k + 4$，解得$k = 2$，从而我们可以求出$DE = 4k = 8$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle DBE = \frac{DE}{BE} = \frac{8}{4} = 2$。
详细解题步骤如下：
解：因为$DE\perp AB$，所以$\angle AED = \angle DEB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AED$中，$\cos A = \frac{AE}{AD} = \frac{3}{5}$。
设$AE = 3k$，$AD = 5k$，$k > 0$，则$DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = \sqrt{(5k)^{2} - (3k)^{2}} = 4k$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD = AB$，即$AD = AE + BE$，所以$5k = 3k + 4$，解得$k = 2$，所以$DE = 4k = 8$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle DBE = \frac{DE}{BE} = \frac{8}{4} = 2$。
最后我们来看例5。
如图，在下列网格中，小正方形的边长均为$1$，点$A$、$B$、$O$都在格点上。求$\sin\angle AOB$。
首先我们看在图中能不能找到含$\angle AOB$的直角三角形，如图，本题的图形中并没有含$\angle AOB$的直角三角形，既然没有，我们尝试能不能在图中通过添加合适的辅助线构造出含有$\angle AOB$的直角三角形呢？怎样添加辅助线呢？大家思考一下。
我们过点$B$作$BC\perp AO$，垂足为点$C$，这样$\angle AOB$就是直角三角形$BOC$的一个锐角，$\sin\angle AOB = \frac{BC}{OB}$。
如何求出$BC$和$OB$的长度呢？
在网格中利用勾股定理容易求出$OB = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$。
我们再看怎样求出$BC$的长度。$BC$是三角形$AOB$中$AO$边上的高，三角形$AOB$的三个顶点都是网格上的格点，我们容易求出三角形$AOB$的面积。