师：大家好，这节课我们开始锐角的三角函数第四课时——一般锐角的三角函数值的学习。之前我们已经学习了30度、45度、60度这些特殊角的三角函数值，那对于任意锐角，怎么求它的三角函数值呢？比如sin 36度的值。我们可以按以下操作步骤：
第一步，如图，用刻度尺和量角器作Rt三角形ABC，使∠C = 90度，∠A = 36度；
第二步，用刻度尺量得∠A的对边BC的长度，以及斜边AB的长度；
第三步，因为sin A = ∠A的对边 / 斜边 = BC / AB，算出比值BC / AB，就能得出sin 36度的值。用这种方法可以求出任意锐角三角函数的近似值。古代数学家、天文学家也采用过类似方法，只是误差较大。后来经过许多数学家不断改进，不同角的三角函数值被制成了常用表，这大大推动了三角函数的应用。如今，三角函数又被带有sin、COS、Tan功能键的计算器所取代，只要计算器有这些功能键，就可以用来求锐角的三角函数值。本教材介绍了一种计算器，如图所示。先按ONC键，再按mode键，使显示器屏幕上出现DEG字样，然后再按有关的三角函数键。
首先来说说如何利用计算器求锐角三角函数值。这里根据锐角所带的单位，分为两种情况：
一是当锐角以度为单位时，可先按sin、COS或tangent键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按等于键，即可在屏上显示出结果；
二是当锐角以度分秒为单位时，要借助度分秒键计算，按键顺序为sin或cos或tangent、度、度分秒键、分、度分秒键、秒、度分秒键，最后按等于键。注意，使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值。我们来看两个例题：
例一，求sin 40度的值，精确到0.0001。按照PPT页面中的按键顺序，将计算器显示的数值再根据本题的精确度要求，得出sin 40度约等于0.6428。
例二，求cos 34度35分、tan 66度15分17秒的值，精确到0.0001。本题中锐角以度分秒为单位，操作时要借助度分秒键计算。按照PPT页面中的按键顺序，将计算器显示的数值根据本题的精确度要求写出答案。当然本题也可以先将角度中的分和秒的数值分别除以60和3600转化为度，然后根据本题的精确度要求写出答案。
接下来看看已知锐角三角函数值，如何利用计算器求锐角的度数。已知锐角三角函数值求锐角的度数时，要先按2ndF键将sin、cos、Tan转化为它们的第二功能键，然后输入三角函数值，再按等于键，即可在屏上显示出以度为单位的结果。若再按2ndF键、度分秒键，则显示为以度分秒为单位的结果。当所给的三角函数值为分数形式时，一般先将分数化为小数。我们来看例3，已知sinα = 0.5086，求锐角α。本题属于已知锐角三角函数值求锐角的度数的类型。操作时要先按2ndF键将sin转化为它的第二功能键。按照PPT页面中的具体按键顺序，即可在屏上显示出以度为单位的结果，再按2ndF键、度分秒键则显示为以度分秒为单位的结果。从而得出∠α约等于30.5706度，约等于30度34分14秒。
我们继续探索锐角三角函数的性质。利用计算器可以求出15度、18度、20度、22度、80度、82度、84度这些锐角的正弦函数值。从表中发现，随着锐角α的度数不断增大，sinα的值逐渐增大。也可以利用几何图形来验证。如图，在直角三角形ABC中，因为sinα = ∠α的对边 / 斜边 = BC / AB。从图中看到，当锐角α的度数不断增大时，直角边BC的长度保持不变，斜边AB长度逐渐减小，所以sinα = BC / AB的值逐渐增大。接着利用计算器求出这些锐角的余弦函数值。从表中发现，随着锐角α的度数不断增大，cosα的值逐渐减小。同样利用几何图形验证，在直角三角形ABC中，因为cosα = ∠α的邻边 / 斜边 = AC / AB。从图中看到，当锐角α的度数不断增大时，直角边AC的长度保持不变，斜边AB的长度逐渐增大，所以cosα = AC / AB的值逐渐减小。再利用计算器求出这些锐角的正切函数值，从表中发现，随着锐角α的度数不断增大，tanα的值逐渐增大。利用几何图形验证，在直角三角形ABC中，因为tanα = ∠α的对边 / ∠α的邻边 = BC / AC。从图中看到，当锐角α的度数不断增大时，直角边BC的长度保持不变，另一条直角边AC逐渐减小，所以tanα = BC / AC的值逐渐增大。
还有其他证明方法，如图，在直角三角形ABC中，因为tanα = ∠α的对边 / ∠α的邻边 = BC / AC。从图中看到，当锐角α的度数不断增大时，直角边AC的长度保持不变，另一条直角边BC逐渐增大，所以tanα = BC / AC的值逐渐增大。于是得到了锐角三角函数的增减性：在锐角三角函数中，正弦值随着角度的增大而增大，或者说正弦值随着角度的减小而减小；余弦值随着角度的增大而减小，也可以说成余弦值随着角度的减小而增大；正切值随着角度的增大而增大，也可以说成正切值随着角度的减小而减小。
接下来看几个例题：
例一，下列各式中一定成立的是（ ）
A. tan 45度 > tan 48度 > tan 15度
B. tan 75度 < tan 48度 < tan 15度
C. cos 75度 > cos 48度 > cos 15度
D. sin 75度 < sin 48度 < sin 15度
在本题选项中，因为75度 > 48度 > 15度，它们的正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，正切值随着角度的增大而增大，所以选项A中tan 75度 > tan 48度 > tan 15度正确。
例二，如果∠α为锐角，且tanα = √2，那么（ ）
A. ∠α > 0度，< 30度
B. ∠α > 30度，< 45度
C. ∠α > 45度，< 60度
D. ∠α > 60度，< 90度
本题已知锐角α的正切函数值为√2，√2约等于1.414。有的同学认为可以利用计算器求锐角α的度数。如果有计算器，这种方法可行，但如果没有计算器，也有其他办法。发现锐角α的正切函数值√2介于1和√3之间，即√2 > 1 < √3。而特殊角45度的正切函数值为1，即tan 45度 = 1；特殊角60度的正切函数值为√3，即tan 60度 = √3，所以tanα > tan 45度，< tan 60度。又因为在锐角三角函数中，正切函数值随着角度的增大而增大，所以∠α > 45度，< 60度，选项C正确。
例三，比较大小：
sin 46度与cos 31度；
tan 15度与tan 16度；
sin 37度与tan 47度。
先看第一小题，比较sin 46度与cos 31度的大小，一个是正弦值，一个是余弦值，不是同一类锐角三角函数，不能直接利用锐角三角函数的增减性来比较大小。根据任意一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，或者任意一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值，将cos 31度转化为sin（90度 - 31度） = sin 59度。因为在锐角三角函数中，正弦函数值随着角度的增大而增大，所以sin 46度 < sin 59度，即sin 46度 < cos 31度。
再看第二小题，因为在锐角三角函数中，正切函数值随着角度的增大而增大，所以tan 15度 < tan 16度。
第三小题，比较sin 37度与tan 47度的大小，一个是正弦值，一个是正切值，不是同一类锐角三角函数，且不能利用上述余角关系转化为同一类锐角三角函数来比较大小。发现sin 37度 < sin 45度，而sin 45度 = √2 / 2 < 1，所以sin 37度 < 1。而tan 47度 > tan 45度 = 1，所以tan 47度 > 1，从而得出sin 37度 < tan 47度。
例四，在三角形ABC中，∠C = 90度，如果sin A > cos A，求∠A的度数范围。因为sin A > cos A，根据任意一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，将cos A转化为sin（90度 - ∠A），所以sin A > sin（90度 - ∠A）。因为在锐角三角函数中，正弦值随着角度的增大而增大，所以∠A > 90度 - ∠A，解得∠A > 45度。又因为∠A < 90度，所以∠A的度数范围为45度 < ∠A < 90度。
例五，如图，三角形ABC中AB = AC，∠A = 22.5度，求tan 22.5度的值。本题要在图中构造含22.5度的直角三角形。若过顶角顶点A作底边BC边上的高，等腰三角形ABC被分成两个含有锐角22.5度和67.5度的直角三角形，这两个角不是特殊角，三边无特殊数量关系，问题难以解决。注意到22.5度的两倍是45度，45度是特殊锐角，所以过底角顶点C作腰AB边上的高CD。因为AB = AC，所以∠A = ∠ACB = 22.5度。在Rt三角形ADC中，∠DAC是等腰三角形ABC的一个外角，则∠DAC = ∠A + ∠ACB = 45度。设AD = CD = k，根据勾股定理可求得AC = √(AD2 + CD2) = √(k2 + k2) = √2k = AB。在Rt三角形BDC中，BD = AB + AD = (√2 + 1)k，所以tan B = ∠B的对边 / ∠B的邻边 = CD / BD = k / (√2 + 1)k = √2 - 1 = tan 22.5度。
例六，第一小题，利用计算器计算可得：
sin 30度 = 2 × sin 15度 × cos 15度；
sin 36度 = 2 × sin 18度 × cos 18度；
sin 45度 = 2 × sin 22.5度 × cos 22.5度；
sin 60度 = 2 × sin 30度 × cos 30度；
sin 80度 = 2 × sin 40度 × cos 40度。
由第一小题计算可猜想，已知α > 0度，< 45度，则sin 2α = 2 × sinα × cosα。如图，在三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 2α。请根据提示利用面积方法验证结论。
题目要求根据图形提示利用面积方法验证猜想结论。在第一个图中，过点B作BE垂直AC于点E，所以S三角形ABC = 1 / 2 × AC × BE。在Rt三角形ABE中，sin 2α = BE / AB，所以BE = AB × sin 2α。因此S三角形ABC = 1 / 2 × AC × BE = 1 / 2 × AC × AB × sin 2α。在第二个图中，过点A作AD垂直BC于点D，所以S三角形ABC = 1 / 2 × BC × AD。因为AB = AC，根据等腰三角形三线合一，BC = 2BD。在Rt三角形ABD中，sin∠BAD = sinα = BD / AB，cos∠BAD = cosα = AD / AB，所以BD = AB × sinα，AD = AB × cosα = AC × cosα。所以S三角形ABC = 1 / 2 × BC × AD = 1 / 2 × 2BD × AD = 1 / 2 × 2AB × sinα × AC × cosα。比较等式两边，可得sin 2α = 2 × sinα × cosα。
下面请大家完成今天的课堂练习：
练习一，利用计算器计算可得：sin 0度 = 0，cos 0度 = 1，tan 0度 = 0，sin 90度 = 1，cos 90度 = 0，tan 90度不存在。
练习二，用计算器求三角函数值，精确到0.0001。利用计算器求得sin 10度 ≈ 0.1736，cos 50度18分 ≈ 0.6388，tan 13度12分 ≈ 0.2345，sin 14度36分 ≈ 0.2521。
练习三，已知三角函数值，用计算器求锐角α和β，精确到1分。利用计算器求得：
sinα = 0.7083，∠α ≈ 45度06分；sinβ = 0.5688，∠β ≈ 34度40分。
cosα = 0.8290，∠α ≈ 34度；cosβ = 0.9931，∠β ≈ 6度44分。
tanα = 0.9131，∠α ≈ 42度24分；tanβ = 31.80，∠β ≈ 88度12分。
最后看练习四，设∠α < ∠β，∠α和∠β都为锐角，比较下列各组两个值的大小。利用锐角三角函数的增减性，因为∠α < ∠β且都是锐角，所以可得：
sinα < sinβ；
cosα > cosβ；
tanα < tanβ。
现在一起回顾一下本节课学习的主要内容：
一是可以用计算器求锐角三角函数值，已知锐角三角函数值也能用计算器求相应的锐角；
二是在锐角三角函数中，正弦值随着角度的增大而增大，也可说随着角度的减小而减小；余弦值随着角度的增大而减小，也可说随着角度的减小而增大；正切值随着角度的增大而增大，也可说随着角度的减小而减小。
本节课的课后作业如下，这节课就讲到这里，同学们再见。