师：欢迎来到线上课堂。今天我们共同学习第23章第二节解直角三角形第二课时。下面，我们先回顾上一节课的主要内容。什么是解直角三角形呢？同学们还记得吗？在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程，我们把它叫做解直角三角形。那么解直角三角形需要哪些条件呢？我们在上一节课探究过，需要已知两个元素，这两个元素可以是两条边，或者是一条边和一个角。并且已知的两个元素中至少得含有一条边，这样就可以解直角三角形。
师：好，下面我们一起来看例题，请同学们仔细审题。这里讲的是热气球的例子，探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45度，看这栋楼底部C的俯角β为60度，热气球与楼的水平距离为100米。按照下列步骤求这栋楼的高度，计算结果保留根号。审题时，我们要明确题目大意，结合示意图可以发现，从热气球A看一栋楼顶部的仰角α为45度，也就是图中∠BAD为45度；看这栋楼底部C的俯角β为60度，即图中∠CAD等于60度；热气球与楼的水平距离为100米，那么AD等于100米。我们根据题目与示意图的信息相结合来解决以下问题。
师：第一，由题意可知，在Rt△ABD中，∠BAD为45度，AD等于100米。由于AD是水平线，BC是竖直线，所以△ABD为等腰直角三角形，AD与BD相等，则BD也等于100米。在Rt△ACD中，∠CAD即为俯角β的角度60度。根据正切的定义，tan∠DAC应该是在直角三角形中，∠DAC的对边与∠DAC的邻边之比，也就是CD比AD，即(CD = AD×tan∠DAC = 100×\sqrt{3})。所以(BC = BD + CD = 100 + 100\sqrt{3})，我们可以写成乘积的形式(100×(1 + \sqrt{3}))。
师：综上所述，这栋楼的高度为(100×(1 + \sqrt{3}))米。那我们解决这个例题后，大家有没有发现，在这题中有两个新的名词，是我们今天遇到，以前题目中都没接触过的。哪两个呢？第一个是仰角，第二个是俯角。什么是仰角和俯角呢？这就是我们今天这节课所要学习的内容。
师：我们一起来看看，什么是仰角和俯角。如图，在同一竖直平面内进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角，当视线在水平线上方时，叫做仰角；当视线在水平线下方时，叫做俯角。那我们根据这个字面意思，可不可以有自己一种简单的理解方式呢？有同学说的很好，就是视线与水平线的夹角，视线向上看就是仰角，向下看就是俯角。好，下面我们一起来看另一道题，请同学们仔细审题。
师：一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树8米的一处，测得树顶的仰角∠ACD等于52度。已知测角器的架高CE等于1.6米，问树高AB为多少米？题目要求精确到0.1米。这是生活中的一道实际问题，现在要用我们的数学知识来解答。我们来看示意图。
师：在这个图中，从“学生站在距离水杉树8米的一处”可知，BE应该等于8米，相对应的CD也应该为8米。大家仔细观察一下，四边形BECD应该是一个什么样的四边形呢？它应该是一个矩形，而△ACD是一个直角三角形。测得树顶的仰角∠ACD等于52度，那么在Rt△ACD中，∠ACD为52度，它的对边为AD，邻边为CD。已知(CD = BE = 8)米，这样我们可以根据52度的正切值求出AD的值。又因为架高(CE = 1.6)米，(BD)也等于1.6米，这样树高(AB)就迎刃而解。好，我们一起来看解答过程。
师：在Rt△ACD中，(∠ACD = 52)度，(CD = EB = 8)米。因为(tan∠ACD = \frac{AD}{CD})，所以(AD = CD×tan∠ACD = 8×tan52)度。由(DB = CE = 1.6)米，可得(AB = AD + DB)。这里(tan52)度，我们可以通过查表或计算器的方式得到，约为(1.2799)。代入计算可得(AB ≈ 8×1.2799 + 1.6 = 11.8)米。最后不要忘了答，树高(AB)为(11.8)米。同学们，我们学会了吗？我们一起来看例2，请同学们仔细审题。
师：例2为本章引言所提问题。如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔顶B成一直线的C、D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45度和30度，同时量得(CD = 50)米。已知测角器高为1米，问电视塔的高度为多少米？题目要求精确到整数。同样，我们要审题明确，要求电视塔的高度，即为图中求(AB)的长度。而测角器高为1米，我们可以得出(DD_1 = CC_1 = BB_1 = 1)米。这里所给的两个仰角，一个是45度，一个是30度，它们分别在Rt△(ABC_1)中和Rt△(ABD_1)中。我们先分析一下，在Rt△(ABC_1)中，由于(∠AC_1B_1 = 45)度，我们可以得到△(ABC_1)为等腰直角三角形，那么(AB_1)与(B_1C_1)应该是相等的。(AB_1)即为我们所求电视塔高度的一部分。所以我们可以利用方程的思想，设(AB_1)为(x)，(B_1C_1)为(x)。由题目中同时量得(CD = 50)米，且(CD = C_1D_1)，所以(B_1D_1)可以表示为(x + 50)。
师：那么在Rt△(ABD_1)中，(∠AD_1B_1)为30度，也就是30度角所对的对边与邻边的比。我们可以利用这样一个等式求出(x)值，最终将(AB_1)加上(BB_1)，得出电视塔的高度。好，我们一起来看解答。解：设(AB_1 = x)米。在Rt△(AC_1B_1)中，由(∠AC_1B_1 = 45)度，可得(C_1B_1 = AB_1)（等腰对等边）。在Rt△(AD_1B_1)中，有(∠AD_1B_1 = 30)度，可得(tan∠AD_1B_1 = \frac{AB_1}{B_1D_1} = \frac{AB_1}{C_1D_1 + C_1B_1})，即(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{50 + x})。由此可以解得这个方程，(x = 25×(\sqrt{3} + 1))。我们再把它代入进去，所以(AB = AB_1 + BB_1 = 25×(\sqrt{3} + 1) + 1)。而(\sqrt{3})约等于(1.732)，代入进去进行计算，精确到整数位为69米。所以电视塔的高度为69米。
师：好，下面我们来进行练一练。第一题，如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45度，则船与观测者之间的水平距离(BC)等于多少米？这个题中涉及到俯角，我们说俯角即为视线与水平线的夹角，为45度。所以可以得到(∠ABC)也为45度，它的依据是两直线平行，内错角相等。所以△(ABC)为等腰直角三角形，那么(BC)就等于(AC)。因为高出海平面100米的悬崖顶(A)处，(AC = 100)米，所以(BC)即为100米。
师：这是第一小题，下面我们看第2小题。如图2，两建筑物(AB)和(CD)的水平距离为30米，来看好，图中显示为(BC)。从(A)点测得(D)点的俯角为30度，图中显示应该是(∠EAD = 30)度；测得(C)点的俯角为60度，那么(∠CAE)应该为60度。让我们求建筑物(CD)的高为多少米。这道题与第一题相比，解决起来好像有一定难度。大家仔细看，30度和60度有没有在直角三角形中，没有的话我们应该怎么办？我们应该添加辅助线，我们可以延长(CD)交(AE)于(F)点。这样的话，观察一下，30度存在于哪个直角三角形中呢？在Rt△(AFD)中，那么俯角为60度的角在哪个直角三角形中呢？在Rt△(AFC)中。我们一起来看一下。