师：今天我们将共同学习第二、三章第2节解直角三角形及其应用的第3课时。下面我们复习回顾上一节的内容。一、解直角三角形的主要依据是什么？请同学们思考一下。
解直角三角形的主要依据是三边之间的关系、两锐角的关系以及边角之间的关系。在第一课时，我们讲到解直角三角形的定义，即在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。当时我们讨论了5个元素：a、b、c、∠A和∠B，我们从三种不同角度进行分析，这些便构成了解直角三角形的重要依据。
第二个问题，解直角三角形主要需要哪两个条件？我们说过，解直角三角形至少需要两个元素，且这两个元素中至少要含有一条边，所以可以是已知两边，或者已知一条边和一个锐角。
那今天我们将学习什么呢？我们一起来看一个例子。如图，一艘轮船从A地出发，航行路线为AC、CB。你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？这将是我们今天这节课所要研究的内容——方向角。那什么是方向角呢？我们一起来认识一下。
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90度的角叫做方向角，如图所示。这里给出了两幅图，同样是上北下南，左西右东。同学们请看第一幅图，OA根据方向角的定义，以正南或正北方向为准开始，所以OA位置为北偏东30度方向；而OB的位置为南偏西45度方向，我们又把它称之为西南方向。
第二幅图，同样上北下南，左西右东，以正北方向为准，北偏东45度方向叫做东北方向；北偏西45度方向，我们把它称之为西北方向；南偏西45度方向叫做西南方向；南偏东45度方向，我们又把它叫做东南方向。这是我们习惯的说法。
好，学过方向角的概念之后，我们再回头看例题。如图，一艘轮船从A地出发，航行路线为AC、CB。此时观察图形，AC位于点A的北偏东60度方向上。当轮船从A点航行到C点之后，再沿着CB方向，CB的位置为南偏东45度方向，也就是东南方向。同学们，你们答对了吗？
让我们一起来看看例一。如图，一船以每小时20海里的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60度的方向上。继续航行一小时，到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30度的方向上。已知灯塔C四周10海里内有暗礁。问这船继续向东航行是否安全？
下面我们要根据题意和示意图进行分析。一船以每小时20海里的速度向东航行，速度为每小时20海里。从A处测得灯塔C在北偏东60度的方向上，那么∠CAB = 30度。继续航行一小时到达B处，时间为一小时，根据路程 = 速度×时间，AB应为20海里。又测得灯塔C在北偏东30度的方向上，那么∠ABC的补角为60度。
已知灯塔C四周10海里内有暗礁，即暗礁区域的半径为10海里。那这船继续向东航行是否安全呢？判断标准是什么？
我们要分析这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的垂直距离是否大于10海里。判断货船有无触礁危险的标准为：第一步，先计算出货船向正东方向航行时，灯塔C距正东方向航线的垂直距离，即图中CD的长度；第二步，比较垂直距离与暗礁半径的大小。当垂直距离大于暗礁半径时，货船无触礁危险，可以安全通过；当垂直距离小于暗礁半径时，货船有触礁危险；当垂直距离等于暗礁半径时，货船将会在某一处有触礁危险。同学们学会了吗？
下面来看解答。第一步，先过C点作CD垂直AB所在的直线交于D点，设CD = x海里。在该题中，我们运用方程的思想。在Rt△ACD中，AD = CD÷tan∠CAD，写成x÷tan30度；在Rt△BCD中，BD = CD÷tan∠CBD，写成x÷tan60度。由AB = AD - BD，找到这组等量关系，列出关于x的方程：AB = x÷tan30度 - x÷tan60度 = 20，即x÷(√3 / 3) - x÷√3 = 20。解该方程，得出x = 10√3＞10。这就说明垂直距离大于暗礁半径，货船无触礁危险，这船继续向东航行是安全的。
我们看第二题，请同学们仔细审题。一条东西走向的高速公路上有两个加油站A和B。在A的北偏东45度方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，BC间的距离是60千米。想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到BC的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离，结果保留根号。
该题没有帮我们画图，但我们要根据题意画出图形。东西走向的高速公路，我们可以用一条线段表示，有两个加油站A和B，可将A和B化作这条线段的两端。在A的北偏东45度方向有加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，即C到AB所在直线的距离为30千米。BC间的距离是60千米，即BC长度为60。读到这，我们发现点B有可能在A的右侧，也有可能在A的左侧，所以图形示意图画出来应该有两种情况。
我们根据图一，A、B为两个加油站，在A的北偏东45度方向，所以∠A = 45度。C到高速公路的最短距离是30千米，即CD = 30，BC间的距离是60千米，所以BC的长度为60。题目要求点P到加油站A的距离，即求PA，且PB = PC。
图形画出来之后，我们根据两幅图写出相应解答。这里运用到了分类讨论的思想。让我们一起来学习解分类讨论。
第一种，如图一，在Rt△BDC中，CD = 30千米，BC = 60千米。所以∠B = 30度，在直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半，其逆命题同样成立。因为PB = PC，所以∠BCP = ∠B = 30度。所以在Rt△CDP中，∠CPD = ∠B + ∠BCP = 60度。所以DP = CD÷tan∠CPD = 30÷tan60度 = 10√3千米。