师：同学们好，欢迎来到线上课堂。今天我们共同学习第23章第二节解直角三角形及其应用的第四课时。先来看一个例子，如图，从山脚到山顶有AB与DB两条路，哪条路比较陡呢？这是生活中的问题，有同学可能说走走就知道，但这样比较费力。我们能否把它转化为数学问题来解决实际问题呢？又如何用数量刻画哪条路更陡呢？我们一起来回顾。
如图，这是一个坡面与水平面，这是我们在第一节学习锐角三角函数时的内容。首先是坡角，它指坡面与水平面的夹角，通常用α表示。其次是坡度或坡比，坡面的铅直高度用h表示，水平长度用l表示，它们的比叫做坡面的坡度或坡比，记作i，即i = h : l 。坡度通常写成1 : m的形式，比如i = 1 : 6 。
那坡度与坡角有什么关系呢？i = h : l = tanα，也就是坡度等于坡角的正切值。由此可知，坡角越大，坡度越大，坡面就越陡，tanα的值也就越大。下面我们练一练。
第一，斜坡的坡度是1 : √3，即铅直高度比上水平距离为1 : √3 。在直角三角形中，h : l = 1 : √3，这意味着tanα = 1 / √3 = √3 / 3 。我们知道只有30度角的正切值等于√3 / 3，所以α = 30度。
第二，斜坡的坡角是45度。根据刚才复习的，i = tanα，所以坡比应该等于tan45度，坡比即为1 : 1 。
第三，斜坡长是12米，坡高6米。则坡比等于铅直高度比上水平距离，斜边为12米，那么它的水平长度l = √(122 - 62) = 6√3米。所以将坡高与水平长度作比，6 : 6√3，坡比是1 : √3 。想必这三个小练习对大家来说不难，且与我们这节课主要内容相关。
例如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC = 9.8米，路基高BE = 5.8米，斜坡AB的坡度i = 1 : 1.6，斜坡CD的坡度i' = 1 : 2.5 。求铁路基下底宽AD的值（精确到0.1米），以及斜坡的坡角α和β（精确到1度）的值。请同学们审题，把题意与示意图结合。横断面是四边形ABCD且AD∥BC，说明这个四边形是梯形。路基顶宽BC = 9.8米，即上底为9.8米，路基高BE = 5.8米，斜坡AB的坡度i = 1 : 1.6，我们可根据坡度求出AE的长度；斜坡CD的坡度i' = 1 : 2.5，我们可根据这个坡度求出点C到AD的距离（相邻的直角边），所以需要添加辅助线。铁路基下底宽AD的值，明显是让我们求这个梯形的下底，斜坡的坡角α和β，可利用两个坡度求出。
下面我们来看解答过程。第一步，过点C作CF⊥AD于点F，得到CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠D = β 。因为BE = 5.8米，所以AE = 1.6×5.8 = 9.28米，DF = 2.5×5.8 = 14.5米。所以AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6米。
由tanα = i = 1 : 1.6 ，tanβ = i' = 1 / 2.5，根据坡度等于坡角的正切值，得出α ≈ 32度，β ≈ 22度，这个可以通过查表或者利用计算器得出。
最后作答：铁路路基下底宽为33.6米，斜坡的坡角分别为32度和22度。同学们听懂了吗？下面我归纳一下，解本题的关键是通过作辅助线，把非直角三角形转化为直角三角形和矩形。做辅助线时一定要考虑如何充分使用已知条件。
下面看，已知在直线y = kx + b上有任意两点P?(x?, y?)，P?(x?, y?) ，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α，求证tanα = (y? - y?) / (x? - x?) = k 。
我们知道k是一次函数的一次项系数，到高中阶段它又有个名称叫斜率。一起来看图形，直线y = kx + b上有两点，我们任意标注这两点。标注完后，这条直线向上部分与x轴正方向所夹的锐角为α 。这就需要我们建模，由α是锐角可知直线y = kx + b是上升趋势的，即函数y = kx + b的值随x的值增大而增大。我们可以过点P?作P?Q?⊥x轴于Q?点，过P?点作P?Q?⊥x轴于Q?点，再过P?点作P?Q?的垂线段P?R，夹角为α 。因为P?R平行x轴，两直线平行同位角相等。如图，若x? < x?，则y? < y? 。过点P?、P?作x轴的垂线，垂足为Q?、Q?，再过点P?作x轴的平行线，交P?Q?于点R，得到∠P?P?R = α 。
在Rt△P?P?R中，tanα = α的对边比上邻边，即RP?比RP?，所以等于|y? - y?| / |x? - x?| 。因为x? < x?，所以x? - x?是正数，其绝对值是本身；y? < y?，y? - y?也是正数，绝对值等于本身，所以它可以写成(y? - y?) / (x? - x?) 。因为P?、P?都在直线y = kx + b上，当点在某函数图像上，该点横纵坐标必然是满足该函数解析式的一组解。所以将点P?和点P?的横纵坐标分别代入可得y? = kx? + b，y? = kx? + b 。所以k = (y? - y?) / (x? - x?) 。我们发现tanα = (y? - y?) / (x? - x?) = k，这样就证明完了。
证明完之后，这道题给我们什么启示呢？说明一次函数的一次项系数就等于该直线向上与x轴正方向所夹锐角的正切值。在高中阶段，我们把它称之为斜率。知道以后我们再深入学习，下面我们一起来看练习。
第一题，如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : √3，坝高BC = 3米，则坡面AB的长度是多少？请同学们思考，横断面迎水坡AB的坡比是1 : √3，根据图形示意图，铅直高度与水平长度的比叫做坡比，所以BC : AC = 1 : √3 。我们可以得出∠BAC的正切值为1 : √3，进一步化简为√3 / 3 。我们知道在锐角中只有30度角的正切值是√3 / 3，所以在Rt△BCA中，30度所对的直角边是斜边的一半，所以BA = 2BC，坡面AB的长度是6米，答案应该选B。同学们听懂了吗？
好，下面我们来看第2题。直线y = x的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为多少？根据前面所学，坡度坡比i = tanα = k 。对于一次函数，特别是正比例函数y = x，k = 1（系数为1时可省略不写）。所以在这tanα = 1 。在正切三角函数中只有45度的正切值为1，所以与x轴正方向所夹的锐角为45度。
我们接着看第三题，请同学们仔细审题。如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B = ∠C = 45度，外口宽AD = 120毫米，燕尾槽的深度AE = 55毫米，则它的里口宽BC为多少毫米？根据四边形ABCD中AD∥BC，说明这是一个梯形。在这题中，上底作为外口宽AD = 120毫米已告知我们，而∠B = ∠C = 45度，说明这还是一个等腰梯形。题目要求我们求里口宽BC，即等腰梯形的下底。我们发现AE⊥BC，∠B = 45度，那么△ABE应该是等腰直角三角形，AE = BE 。同时AE作为辅助线添加出来后，给了我们提示，我们可以过D点作BC的垂线，交BC于F点。
大家再看，△DCF又是一个什么样的三角形呢？它是一个等腰直角三角形，DF = CF 。因为AD∥BC，平行线间的距离处处相等，所以AE = DF ，那么DF = CF也应该为55毫米，AD与EF的长度相等。所以我们要求的里口宽BC的长度应该为BE + EF + FC = 55 + 120 + 55 = 230毫米。
同学们，你的答案也是这样吗？我们接着来看第四题。如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走20√5米到达山顶A处，这时他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30度，请求出点B和点C的水平距离（结果保留根号）。下面我来分析题意，结合示意图，他从山脚B点出发，测得坡面AB的坡度为1 : 2，这里面有两个信息，一是AB的长度为20√5米，二是坡面AB的坡度为1 : 2 。我们可以过A点作AE⊥BC交BC于E点。根据坡度，铅直高度与水平距离的比值，我们可得到AE与BE的比为1 : 2，BE为AE的两倍。在Rt△ABE中，根据勾一股二弦√5，我们可得AE = 20米，BE = 40米。再根据AE，在Rt△ACE中，AE的长度为20米。这时他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30度，根据俯角的定义，视线与水平线的夹角，我们可得∠DAC为30度，那么∠C也等于30度。在Rt△ACE中，30度所对的直角边AE与EC的比为30度的正切值，tan30度 = AE / EC = √3 / 3 ，EC为AE的√3倍，长度是20√3米。所以要求点B和点C的水平距离，即为BC = BE + EC的长度。
下面我们看解答过程。在Rt△ABE中，AE = 20，BE = 40，这是我们刚才阐述过的。在Rt△ACE中，AE = 20，CE = 20√3，这也是我们刚刚求过的，所以BC = BE + CE = 40 + 20√3 。同学们，你们学会了吗？我们接着来看第5题。
如图，某拦河坝截面的原设计方案为AH∥BC，坡角∠ABC = 74度，坝顶到坝角的距离AB = 6米。为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55度，由此点A需向右平移至点D 。请你计算AD的长（精确到0.1米）。题目中也给了提示，给出了一些参考数据，这里面主要是74度和55度的三角函数值，解题时便于我们选择使用。
下面我们一起来分析题意。AH∥BC，坡角∠ABC = 74度，改良后坡角为55度。观察74度和55度，它们并不在直角三角形中，这时我们就需要添加辅助线。我们可以过A点作AE⊥BC于E点，也可以通过D点作DF⊥BC于F点，这样74度就存在于Rt△ABE中，55度就存在于Rt△DBF中。根据平行线间的距离处处相等，所以AE = DF ，要求AD的长，其实就是求EF的长，EF = BF - BE 。
题目中还给了AB = 6米，我们可以根据三角函数求BE和BF的长度。求BE的长度用到74度的余弦值，求BF的长度用到55度的正切值。
下面我们来看解答，过A点作AE⊥BC于E点，过D点作DF⊥BC于F点。在Rt△ABE中，sin∠ABE = ∠ABE的对边AE / 斜边AB，从而AE = AB×sin∠ABE = 6×sin74度，根据参考数据，约等于5.77 。cos∠ABE = ∠ABE的邻边BE / 斜边AB，所以BE = AB×cos∠ABE = 6×cos74度，根据参考数据，约等于1.65 。因为AH∥BC，所以DF = AE，约等于5.77 。
在Rt△BDF中，tan∠DBF = ∠DBF的对边DF / 邻边BF，所以BF = DF / tan∠DBF ≈ 5.77 / tan55度 ≈ 4.04 。这里要注意，取近似数时，不能按题目要求结果保留0.1就直接在过程中保留，这样会导致答案误差，我们要将小数点多保留几位，答案才更精确。所以AD = EF = BF - BE = 4.04 - 1.65 ≈ 2.4 。
好，下面我们对本节课进行小结。本节课主要知识点：
一是坡度（也叫坡比）和坡角的概念。坡度，在筑坝、开渠、挖河和修路等生活问题及设计图纸上，都要注明斜坡的倾斜程度。如图，我们把坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比，用字母i表示，i = h : l 。坡角指坡面与水平面的夹角，记作α 。坡度和坡角都是表示斜面的倾斜程度，但要注意区分，坡度是坡比，即铅直高度与水平长度的比，坡角是角度。
二是解直角三角形、坡角和坡比在生活实际问题中的应用。在生活中，像开渠、挖河、修坝、楼梯改造等斜坡问题，通常利用水平线、铅垂线和斜坡构造直角三角形进行解答。要记住，锐角三角函数都是在直角三角形中完成的，所以添加辅助线时，要把相应的角或边放在直角三角形中作为条件，来求出所需答案。
下面布置作业，详见作业练习。今天这节课就讲到这里，同学们再见。