师：同学们好，很高兴和大家一起开始今天的数学学习。请拿出学习任务单，做好课前准备，我们正式开始上课。从第 22 章起，我们进入相似形的学习。在前几节课，我们重点学习了两个三角形相似的判定方法。同学们回忆一下，到目前为止，除定义外，我们学了哪些判定两个三角形相似的方法呢？
生：到目前为止，我们学了三种判定方法，分别是预备定理、判定定理一和判定定理二。
师：非常好。预备定理的具体内容是什么呢？
生：平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，截得的三角形与原三角形相似。
师：没错。那判定定理一呢？
生：两角分别相等的两个三角形相似。
师：很好。判定定理二呢？
生：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
师：大家记得很清楚。那大家是否还记得判定定理一和判定定理二的探究过程呢？它们都是借助预备定理进行证明的，我们一起来简单回顾下证明思路。截相等这里，我们可以在较大三角形的边上截取，也可以在较小三角形边的延长线上截取，然后作平行，通过证全等得到相似。我们知道全等是相似的特例，前面学习中，我们类比三角形全等的判定方法，探究得出三角形相似的判定方法。我们发现两边夹角法在相似中依旧成立，两角一边法在相似中只需两角分别相等即可得相似。由此，对于判定两个三角形全等的基本事实“三边分别相等的两个三角形全等”，大家对两个三角形相似的判定方法有什么猜想呢？我们来看课本内容的截图分析。已知求作$a'b' = ab$，可以将它转化为$\frac{ab}{a'b'} = 1$；同样，$b'c' = bc$，可转化为$\frac{bc}{b'c'} = 1$；$c'a' = ca$，可转化为$\frac{ca}{c'a'} = 1$。这样就得到一个比例式$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$。思考到这里，能用几何语言表述出你们的猜想吗？
生：类比全等，已知：如图，在$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$。求证：$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。
师：非常好。那我们该如何证明呢？请同学们按下暂停键，思考一下。类比之前定理一和定理二的探究过程，我们是否可以用截相等、作平行、证全等、得相似的方法来证明此命题呢？我们梳理一下具体过程。在边$AB$或$AB$延长线上取一点$D$，使$AD = A'B'$，作$DE \parallel BC$交$AC$于点$E$。根据预备定理可得$\triangle ABC \sim \triangle ADE$，所以$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$。又因为条件中给出$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$，所以$\frac{AC}{AE} = \frac{AC}{A'C'}$，$\frac{BC}{DE} = \frac{BC}{B'C'}$，进而得到$AE = A'C'$，$DE = B'C'$。所以$\triangle ADE \cong \triangle A'B'C'$，从而$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。不知道大家是否与我的证明思路一样，还有其他证明方法吗？课下请大家试试看。证明了猜想的正确性后，我们得到相似三角形的判定定理三。用几何语言表述为：在$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$中，若$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$，则$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。用文字语言表述为：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简单说成三边成比例的两个三角形相似。接下来学以致用，看例题。
例一，在$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由。
先看第一小题，$AB = 10$，$BC = 12$，$AC = 15$，$A'B' = 1.5$，$B'C' = 1.8$，$A'C' = 2.25$。我们先分析两个三角形中的最长边和最短边，找对应关系，再计算比值看是否相等。很明显，在$\triangle ABC$中，$AC$是最长边，$AB$是最短边；在$\triangle A'B'C'$中，$A'C'$是最长边，$A'B'$是最短边。同学们可以按下暂停键计算一下三组比值，再判断它们是否相似。
生：通过计算，这两个三角形是相似的。理由如下：因为$\frac{AC}{A'C'} = \frac{15}{2.25} = \frac{20}{3}$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{10}{1.5} = \frac{20}{3}$，$\frac{BC}{B'C'} = \frac{12}{1.8} = \frac{20}{3}$，所以$\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$。根据今天所学的判定定理三，得到$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。
师：做对了。接着看第二小题，$AB = 2$，$BC = \sqrt{2}$，$AC = \sqrt{10}$，$A'B' = \sqrt{2}$，$B'C' = 1$，$A'C' = \sqrt{5}$。我们一起来分析，不难看出，在$\triangle ABC$中，最长边是$AC$，最短边是$BC$；在$\triangle A'B'C'$中，最长边是$A'C'$，最短边是$B'C'$。因此我们只需要看这两条最长边的比、两条最短边的比以及第三边的比是否都等于同一个常数$k$就可以了。同学们在学习任务单上计算一下，看是否相似。
生：通过计算，两个三角形是相似的。理由如下：因为$\frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，$\frac{AC}{A'C'} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$，$\frac{BC}{B'C'} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$，所以$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$，所以$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。
师：很棒。再看第三小题，$AB = 10$，$BC = 8$，$AC = 6$，$A'B' = 5$，$B'C' = 3$，$A'C' = 4$。请同学们思考一下，这题因为都是整数，比较好判断。
生：通过计算，这两个三角形是相似的。理由如下：因为$\frac{AB}{A'B'} = \frac{10}{5} = 2$，$\frac{AC}{B'C'} = \frac{6}{3} = 2$，$\frac{BC}{A'C'} = \frac{8}{4} = 2$，所以$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{B'C'} = \frac{BC}{A'C'}$。能用符号表示出这两个三角形的相似关系，即$\triangle ABC \sim \triangle B'A'C'$。
师：非常好。在解决这类判断题时，要关注书写格式，先表明观点，回答是否相似，再说明具体理由。同学们，网格图是我们作图时常用的工具，网格图上的两个三角形该如何判断是否相似呢？看例 2，如图，方格网的小方格是边长为 1 的正方形，$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的顶点都在格点上。请判断$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是否相似，为什么？我们来分析，要判断两个三角形是否相似，除定义外，目前有四种判定方法。等价判定不合适，使用预备定理判定需要特殊位置关系平行，这里也不合适。能计算出角度吗？思考一下，这里除了能判断出$\angle BAC = 135^{\circ}$以外，其他角度不易计算，所以只能考虑今天所学的判定定理三。我们可以根据勾股定理计算出各边长，再求比值是否相等，进而判断两个三角形是否相似。同学们按下暂停键在学习任务单上算算看。