师：同学们好，很高兴和大家一起开始今天的数学学习。请拿出学习任务单，做好课前准备，我们正式上课。在之前几节课，我们类比特殊的相似三角形、全等三角形的判定方法，经过猜想探究，得出三种判定两个三角形相似的方法，分别是判定定理一、判定定理二、判定定理三。即两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。大家还记得这三个判定定理的探究及证明过程吗？它们都是借助预备定理来证明的，我们简单回顾下证明思路：截相等，这里既可以在较大三角形的边上截取，也能在较小三角形边的延长线上截取；做平行，证全等，从而得出相似。
在前面一节课的课堂小结中，我们提出这样一个问题：在判定两个三角形全等时，除了常规方法，还学习了判定特殊三角形的HL方法。那么，两个直角三角形相似，是否也有特殊的判定方法呢？我们来看这样一个问题：你能用已学知识判定两个直角三角形相似吗？如图，在直角三角形ABC与直角三角形A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90° ，请添加一个条件，使直角三角形ABC相似于直角三角形A'B'C' 。
生：（思考）
师：大家思考一下，已有直角相等这个条件，我们再添加任意一个锐角相等，就可根据判定定理一证明两个三角形相似。还有其他方法吗？我们也能利用判定定理二，添加两条直角边对应成比例。那添加三条边对应成比例可不可以呢？其实，已知两条直角边对应成比例，就已能判定两个三角形相似，所以无需再添加第三边对应成比例。既然如此，可不可以添加斜边和一条直角边对应成比例呢？在未证明其正确性前，我们先将它作为猜想。同学们，学习三角形全等时，用HL可判定两个直角三角形全等，相似是否也能用类似方法呢？我们先聚焦到判定两个直角三角形全等的方法上，这是已知求作条件。
如果从比例眼光看，这里的A'B' = AB ，A'C' = AC ，可转化成比例式：AB : A'B' = 1 ，AC : A'C' = 1 ，进而得到AB : A'B' = AC : A'C' = 1 。由此我们更清晰认识到，全等是相似的特例，即相似比为1的特殊情况。若两个直角三角形相似但不全等，那么它们的相似比不为1 。思考到这，斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？你能用几何语言表述猜想吗？已知如图，在直角三角形ABC与直角三角形A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90° ，AB : A'B' = AC : A'C' 。求证直角三角形ABC相似于直角三角形A'B'C' ，我们该如何证明呢？能否类比前面证明其他三个判定定理的方法：截相等，做平行，证全等，得相似，大家试试看。我们梳理下证明思路：
在边AB或AB延长线上取一点D ，使AD = A'B' ，作DE∥BC交AC于点E ，根据预备定理可得三角形ABC相似于三角形ADE ，所以AB : AD = AC : AE ，∠AED = ∠C = 90° 。因为AB : A'B' = AC : A'C' ，所以AC : AE = AC : A'C' ，进而AE = A'C' ，所以直角三角形ADE全等于直角三角形A'B'C' ，从而三角形ABC相似于三角形A'B'C' 。
师：不知道同学们的证明思路是否和我一样，不做平行可不可以呢？还有其他证明方法吗？我们知道直角三角形三边存在特殊数量关系，确定两边长度，第三边长度也就确定了。那么能否借助勾股定理证明此命题呢？请按下暂停键思考一下。
如果设AB : A'B' = AC : A'C' = 常数k ，则AB = k·A'B' ，AC = k·A'C' 。所以BC = √(AB2 - AC2) = √((k·A'B')2 - (k·A'C')2) = √(k2·(A'B'2 - A'C'2)) = √(k2·B'C'2) = k·B'C' 。所以AB : A'B' = AC : A'C' = BC : B'C' = k 。所以直角三角形ABC相似于直角三角形A'B'C' 。这种设未知数，运用代数方法解决几何问题，是今后常用的解决几何问题策略。
直角三角形除三边有特殊数量关系，斜边上的中线也有特殊性，它与斜边存在确定数量关系。利用它能否证明此猜想呢？请同学们课下探讨交流其他证明方法。证明此猜想后，我们形成定理，用几何语言表述为：在直角三角形ABC与直角三角形A'B'C'中，若∠C = ∠C' = 90° ，且AB : A'B' = AC : A'C'或者AB : A'B' = BC : B'C' ，则直角三角形ABC相似于直角三角形A'B'C' 。
用文字语言表述为：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。这里同学们要关注关键词“一条直角边”，直角三角形中斜边唯一，直角边有两条。学习新判定定理后，我们来看看能否运用它解决直角三角形相似相关问题。
例一，在Rt三角形ABC与Rt三角形A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90° 。根据下列条件判定Rt三角形ABC与Rt三角形A'B'C'是否相似，若相似，请用符号表示出来。先看第一小题，AB = 10 ，BC = 8 ，A'B' = 5 ，B'C' = 4 。同学们可以画图分析。
师：一起来看第一小题，这里10 : 5 = 8 : 4 ，所以相似。用符号表示为Rt三角形ABC∽Rt三角形A'B'C' 。继续看第二小题，AB = 10 ，BC = 8 ，A'B' = 5 ，B'C' = 3 ，它们相似吗？同学们思考一下。
生：（思考回答）
师：答案是相似。如图，AB与A'B'对应，AC与B'C'对应，此时相似关系为直角三角形ABC相似于直角三角形B'A'C' 。大家做对了吗？在直角三角形中，斜边唯一确定，但直角边有两条，所以找对应边时要严谨细致，不能惯性认为BC一定对应B'C' 。
我们再来看例2 。只给出三边长度，能否根据今天所学判定定理算出符合题意的EF值？在直角三角形ABC与直角三角形DEF中，∠C = ∠F = 90° 。若AB = 10 ，BC = 8 ，DE = 8 ，当EF等于多少时，直角三角形ABC相似于直角三角形DEF 。当EF等于多少时，直角三角形ABC与直角三角形DEF相似。
大家注意这两小题不同的相似表述，一个用相似符号表示，确定了对应关系；另一个是文字表述，未确定顶点对应关系，所以需要分情况讨论。同学们，请按下暂停键，在学习任务单上做做看。
师：我们一起来分析题意。第一小题中，对应边关系确定，斜边AB与斜边DE对应，直角边BC与EF对应，四条线段知三求一，容易算出EF为6.4 ，大家做对了吗？再来分析第二小题，对应边关系不确定，但斜边AB与DE仍对应，直角边BC可能与EF对应，也可能与DF对应。即10 : 8 = 8 : EF ，或者10 : 8 = 6 : EF 。