师：各位同学，大家好，下面我们开始上课。在过去的一段时间里，我们共同学习了第23章解直角三角形。今天这节课，我们就来系统地复习全章知识。首先，什么是解直角三角形呢？我们一起来回忆一下，在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。在解直角三角形时，我们常常会用到直角三角形中的哪些关系呢？我们结合图形来看，在Rt△ABC中，已知∠C = 90°。
首先，由勾股定理可得三角形的三边关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是(a2 + b2 = c2)。其次，根据三角形内角和定理的推论，直角三角形的两锐角互余，所以(∠A + ∠B = 90°)。除此之外，就是我们本章学习的最重要的边角关系，在直角三角形中：
(sinA = \frac{a}{c})（(a)为(∠A)的对边，(c)为斜边），(sinB = \frac{b}{c})（(b)为(∠B)的对边，(c)为斜边）；
(cosA = \frac{b}{c})（(b)为(∠A)的邻边，(c)为斜边），(cosB = \frac{a}{c})（(a)为(∠B)的邻边，(c)为斜边）；
(tanA = \frac{a}{b})（(a)为(∠A)的对边，(b)为(∠A)的邻边），(tanB = \frac{b}{a})（(b)为(∠B)的对边，(a)为(∠B)的邻边）。
这里一共有6个三角函数的概念。接下来，我们就要利用以上关系解直角三角形。请同学们看例题1，在直角三角形ABC中，(∠C = 90°)，(AC = 12)，(cosA = \frac{12}{13})，求(tanA)和(BC)的值。拿到这个题目，同学们首先要画出基本图形，然后进一步分析直角三角形中的已知条件。题目中告诉我们(AC = 12)，(cosA = \frac{12}{13})，由(∠A)的余弦概念可得(\frac{AC}{AB} = \frac{12}{13})，那么(AB = AC÷cosA = 12÷\frac{12}{13} = 13)。有了(AB = 13)后，根据勾股定理可求出(BC = \sqrt{AB2 - AC2} = \sqrt{132 - 122} = 5)。最后，根据正切概念求出(tanA = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12})。
这样一道题就解完了。通过整个题目我们可以发现，条件明确给出(cosA)，问题也明确提问(tanA)。同学们只需要根据余弦和正切的概念将它们的边角关系呈现出来，再代入相应数值便可求得答案。这道题体现的是三角函数的概念在解直角三角形中的应用。接下来我们看，在这三个三角函数的概念中，它们之间是存在一些关系的。比如说，一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。接下来请同学们尝试证明以下两个关系，在Rt△ABC中，(∠C = 90°)，利用锐角三角函数的概念证明：
第一问，(tanA = \frac{sinA}{cosA})；
第二问，(sin2A + cos2A = 1)。
那么这样的问题该如何证明呢？我们仍然从三角函数的概念出发。首先第一问，结合直角三角形，我们可知(sinA = \frac{a}{c})，(cosA = \frac{b}{c})，(tanA = \frac{a}{b})，将其代入(\frac{sinA}{cosA})的式子中，得到(\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b})，从而证明(\frac{sinA}{cosA} = tanA)。
同样的道理，第二问，通过直角三角形，我们首先得到(sinA = \frac{a}{c})，(cosA = \frac{b}{c})，那么(sin2A + cos2A = \frac{a2}{c2} + \frac{b2}{c2} = \frac{a2 + b2}{c2})。这里(a2 + b2 = c2)，这是勾股定理的体现，所以(sin2A + cos2A = \frac{c2}{c2} = 1)。
通过以上两道题，我们可以发现三角函数的概念不仅可以运用于解直角三角形，还可以证明彼此之间的联系。那么三角函数的概念还有什么作用呢？我们一起来看练习。在三角形ABC中，我们知道三角形的面积可以表示为底与高乘积的一半。你能用三角形的两边及其夹角的正弦来表示三角形ABC的面积吗？这里三角形ABC是一个锐角三角形，请同学们思考片刻。
我们不妨仍然从三角形面积等于底与高乘积的一半入手考虑，这也是我们常规的思考方式，通常都是从已掌握的知识点出发。如果能将这里的底或高进行转化，是不是就可以得到相应结论了呢？题目中提示我们可以选择用某一个角的正弦，要想用到三角函数的概念，就得构造直角三角形。所以我们不妨先做出该三角形的某一条高，如图，过点B作(BD⊥AC)，垂足为D。
这样一来，图形中就出现了两个直角三角形，分别是Rt△ABD和Rt△CBD，该三角形的面积就可以表示为(\frac{1}{2}AC×BD)。那么这里的(AC)或(BD)可以转化吗？通过对直角三角形的理解，我们发现(BD)边在Rt△ABD和Rt△BCD中，由(BD)在Rt△ABD中的位置可知，(BD)是(∠A)的对边，同理(BD)也是(∠C)的对边。我们不妨选择其中一个直角三角形，在Rt△ABD中，因为(sinA = \frac{BD}{AB})，所以(BD = AB×sinA)。从而三角形ABC的面积(S = \frac{1}{2}AC×BD = \frac{1}{2}AC×AB×sinA)。
同理，如果我们选择直角三角形BDC，那么就可以证明出三角形的面积(S = \frac{1}{2}AC×BC×sinC)。又或者如果我们过点A向BC作高，或者过点C向AB作高，那么又可以证明出三角形的面积(S = \frac{1}{2}AB×BC×sin∠ABC)。这样一种求三角形面积的方法，在未来学习中是非常常见的。
这里我们提出一个问题，如果将三角形ABC换成直角三角形或钝角三角形，结论仍然成立吗？这个问题留给同学们课后思考。通过以上三题，我们可以发现三角函数的概念运用非常广泛。还有一类，我们可以利用三角函数的概念进一步求出一些特殊角的三角函数值。我们一起来完成：
(sin30° = \frac{1}{2})，(sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2})，(sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2})；
(cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2})，(cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2})，(cos60° = \frac{1}{2})；
(tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3})，(tan45° = 1)，(tan60° = \sqrt{3})。
这里我们一共得到9个特殊角的三角函数值。同学们可以发现它们彼此之间存在相应联系，比如刚刚证明的(tanα = \frac{sinα}{cosα})以及(sin2α + cos2α = 1)，同学们可以结合这些结论一起记忆。接下来我们利用这些特殊的三角函数值解决相关问题，来看例题。
在Rt△ABC中，已知(∠C = 90°)。
第一问，已知(a = 1)，(∠A = 30°)，求(b)、(c)的值。同学们要紧紧抓住关键角(∠A)，已知边(a)是(∠A)的对边，要求的边(b)是(∠A)的邻边，(c)为斜边。我们可以选择合适的三角函数，由(tanA = \frac{a}{b})，可得(b = \frac{a}{tanA} = \frac{1}{tan30°} = \sqrt{3})。由(sinA = \frac{a}{c})，可得(c = \frac{a}{sinA} = \frac{1}{sin30°} = 2)。这样就求出了(b)和(c)的值。
第二问，已知(c = 1)，(∠B = 60°)，求(a)和(b)。通过分析可知，已知边(c)是直角三角形的斜边，要求的(a)是(∠B)的邻边，(b)是(∠B)的对边。因此我们根据(cosB = \frac{a}{c})，可得(a = c×cosB = 1×cos60° = \frac{1}{2})。再根据(sinB = \frac{b}{c})，可得(b = c×sinB = 1×sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2})。只要选择合适的三角函数，就可以建立起相应的边角关系。