师：各位同学，大家好，下面我们开始上课。上一节课，我们共同复习了第23章解直角三角形的第一部分，主要复习了直角三角形当中的各种关系。其中包括三边关系，即(a^2 + b^2 = c^2)；两角关系，(\angle A + \angle B = 90^{\circ})；以及边角关系，这里主要围绕直角三角形当中的锐角(A)、(B)，一共有6个三角函数的概念。而后我们围绕这些关系进一步深入运用。今天这节课，我们将进一步围绕这些关系，对解直角三角形的实际运用加以复习。
在解直角三角形的应用当中，常常会出现哪些数学概念呢？我们一起来回忆一下。首先在坡面问题当中，同学们需要知道什么是坡度。坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比就叫做坡面的坡度，也叫坡比，记作(i)，那么这里的(i = h : l)。其次，坡角是坡面与水平面的夹角，记作(\alpha)。在(\alpha)与(i)之间，它们存在怎样的关联呢？我们可以根据正切的概念得到(\tan\alpha = h : l)，也就是(i)，所以(i = \tan\alpha)。除此之外，还有仰角和俯角的概念。在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，我们称作仰角；当视线在水平线下方时，则叫做俯角。这两类角在我们解直角三角形的应用当中也是反复出现，同学们需要加以理解。还有方向角的概念，一般以观测者的位置为中心，以正北正南方向为基准方向，基准方向与目标方向所构成的小于(90^{\circ})的角就叫做方向角。方向上我们通常将它表达为北偏东多少度、北偏西多少度、南偏东多少度、南偏西多少度。我们不妨结合一幅图形练一练，如图，射线(OA)的方向就是北偏东(30^{\circ})，也可以说成点(A)在点(O)的北偏东(30^{\circ})方向；射线(OB)的方向就是南偏东(45^{\circ})，也可以说成点(B)在点(O)的南偏东(45^{\circ})方向，也叫东南方向。
有了这些概念以后，我们将进一步围绕它们展开解直角三角形实际的运用。同学们一起来看这道例题，如图，直升飞机在跨江大桥(AB)的上方(P)点处，此时飞机离地面的高度(PO = 450)米，且(A)、(B)、(O)三点在一条直线上。测得大桥两端的俯角分别为(\angle CPA = 30^{\circ})，(\angle CPB = 45^{\circ})，最终求大桥的长(AB)。同学们思考片刻。
在这道题当中，我们可以发现图形里已经存在了两个直角三角形，分别是(Rt\triangle POB)和(Rt\triangle POA)。对于这两个直角三角形而言，有哪些已知的元素呢？我们进一步结合条件去分析。在(Rt\triangle POB)中，我们有(PO = 450)米以及(\angle PBO = \angle CPB = 45^{\circ})；在(Rt\triangle POA)当中，我们有(PO = 450)米，以及(\angle PAO = \angle CPA = 30^{\circ})。这样一来，也就是说这两个直角三角形的条件都是充足的，我们直接去解就好了，最终我们要求的是(AB)的长。
那么(AB)与这两个直角三角形的元素之间有关联吗？(AB)可以转化为(AO - BO)。好，我们一起来完成整个过程。首先由俯角的概念，我们将其转化为(\angle PAO = \angle CPA = 30^{\circ})，以及(\angle PBO = \angle CPB = 45^{\circ})。而后在(Rt\triangle POB)当中，因为(\angle PBO = 45^{\circ})以及(PO = 450)，可以发现这是一个等腰直角三角形，所以(BO = PO = 450)。
而在第二个直角三角形当中，即在(Rt\triangle POA)中，我们有(\angle PAO = 30^{\circ})以及(PO = 450)，那么结合(\tan\angle PAO)的概念，可以得到(AO = PO \div \tan\angle PAO = 450 \div \tan30^{\circ} = 450\sqrt{3})。最后我们由(AB = AO - BO)，求得大桥的长为(450\sqrt{3} - 450)，那么这一道题目就做完了。
通过这一题我们可以发现，这里的两个直角三角形它的条件是充足的，这种情况下，同学们可以直接去解。那么接下来我们将这道题的条件与结论互换。仍然是直升飞机在跨江大桥(AB)的上方(P)点处，此时飞机测得大桥两端的俯角分别为(\angle CPA = 30^{\circ})、(\angle CPB = 45^{\circ})。围绕这两个俯角，和刚刚一样，我们可以将其转化到直角三角形中来。已知大桥的长度(AB = 450(\sqrt{3} - 1))，而要求的是直升飞机的高度(PO)。
与上一题做对比，我们可以发现(PO)与(AB)的条件与问题位置互换了。那么该怎么解呢？其实方法并没有变，我们依然去观察分析。这道题也存在两个直角三角形，分别是(Rt\triangle POB)和(Rt\triangle POA)，而后再去分析这两个直角三角形当中的已知元素。
同学们有没有发现问题呢？(Rt\triangle POB)当中我们只剩下了(\angle PBO = 45^{\circ})的条件；(Rt\triangle PAO)当中，我们也只剩下了(\angle PAO = 30^{\circ})的条件，两个直角三角形的条件都不充足，而题目当中给出(AB = 450(\sqrt{3} - 1))又有什么作用？在这种情况下，当两个直角三角形都不可解的时候，我们不妨可以采取方程的思想去设一设。首先我们依然将俯角进行转化。而后我们可以尝试设某一条边，比如说我们设直升飞机的高度(PO = x)，当设出(PO)以后，我们再来看。
那么这两个直角三角形当中的元素是不是就可以用(x)进一步地表示呢？首先在(Rt\triangle POB)当中，因为(\angle PBO = 45^{\circ})，(PO = x)，我们可以表示出(BO)也等于(x)。而在(Rt\triangle POA)当中，我们有(\angle PAO = 30^{\circ})，(PO = x)，再由(\tan\angle PAO)的概念得到(AO = PO \div \tan\angle PAO = x \div \tan30^{\circ} = \sqrt{3}x)。最后我们再用(AB = AO - BO)列出方程(\sqrt{3}x - x = 450(\sqrt{3} - 1))，求得(x = 450)，即直升飞机的高度为(450)米。
仔细回想一下刚刚的题目，两道题的整个过程其实是非常相似的，区别在于前一题两个直角三角形都可以直接解，而在这道题当中，两个直角三角形都不能直接解，这种情况下，我们可以选择方程的思想去尝试，这也给我们提供了一个非常重要的思路。好了，接下来我们再来变一变，如果题目当中没有直角三角形，如图某堤坝的横截面是梯形(ABCD)，背水坡(AD)的坡度为(1 : 1.2)，坝高(5)米。现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶(CD)加宽一米，形成新的背水坡(EF)，其坡度为(1 : 1.4)，求坝底加宽的长度。
在这道题当中，同学们首先需要对文字当中的信息加以理解，尤其是其中某些信息并不能直观在图形当中呈现，比如说背水坡(AD)的坡度为(1 : 1.2)怎么理解？根据我们对坡度的概念，坡度应当等于它的垂直高度比上水平距离，同理，(EF)的坡度也没有直观呈现。除此之外，坝高(5)米在哪里？所以为了切合这些概念，我们需要体现这些概念在图形当中的表现，因此过(E)、(D)分别向(FB)做高，那么这样一来(AD)的坡度就等于了(DN : AN)，(EF)的坡度就等于了(EM : FM)，而坝高(5)米，也就是(EM = DN = 5)。
做出两条高以后，图形当中也出现了两个直角三角形，下面我们来进一步分析这两个直角三角形当中的条件。在(Rt\triangle DAN)当中，我们有(DN = 5)，以及其坡度(DN : AN)的比值；在(Rt\triangle EFM)当中，我们有坝高(EM = 5)的条件以及其坡度(EM : FM)。两个直角三角形应该说都是可以直接解的，我们一起完善过程。在(Rt\triangle DAN)中，由(DN = 5)，坡度(i = 1 : 1.2)，从而得到(5 \div AN = 1 : 1.2)，求得(AN = 6)。同理，在(Rt\triangle EFM)当中，(EM = 5)，其坡度(i = 1 : 1.4)，所以(5 \div FM = 1 : 1.4)，求得(FM = 7)。
而最终题目问我们的是坝底拓宽了几米，也就是求(FA)的长度，那么在这里同学们需要去梳理(FA)所在的水平线上各条线段之间的关系。最终(FA = FM + ED - AN)，这里的(ED)就是指坝顶拓宽的长度(1)米，所以(FA = 7 + 1 - 6 = 2)，坝底加宽两米。