师：同学们，大家好。从今天起，我们将学习二次根式的运算。本节课，我们聚焦16.2二次根式的乘除中的乘法部分。大家回忆一下，之前我们学习了有理数的运算，涵盖有理数的加减、乘除及乘方运算。在八年级上册，我们接触了分式，进而学习了分式的乘除与加减运算。在前两节课，我们又认识了二次根式。现在，就正式进入二次根式运算的学习。
首先，请同学们计算下列各式，观察计算结果，看看能发现什么规律。
第一题，根号4乘根号9，即$ \sqrt{4}×\sqrt{9} = 2×3 = 6$，而根号下4×9，也就是$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$。
第二组，根号16乘根号25，$\sqrt{16}×\sqrt{25}=4×5 = 20$，根号下16×25，$\sqrt{16×25}=\sqrt{400}=20$。
第三组，根号25乘根号36，老师算出结果为30，大家的答案是否一致呢？同样，根号下25×36也等于30。
通过以上计算，大家有什么发现？我们可以看到，这三组计算中，前面三个式子都是两个二次根式相乘，形如$\sqrt{a}×\sqrt{b}$的形式；后面三个式子中的二次根式，其被开方数是两个数的积，且这两个因数恰好是前面两个二次根式的被开方数，形如$\sqrt{ab}$的形式。
经过计算，同学们发现$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。那么，对于这个等式，a和b有条件限制吗？a和b能取任意实数吗？我们来看个例子，$\sqrt{-4}×\sqrt{-9}=\sqrt{(-4)×(-9)}$这个式子成立吗？通过之前的学习，我们知道前面两个二次根式的被开方数是负数，没有意义，所以这个等式不成立。因此，要使$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立，必须满足条件：a≥0，且b≥0，这就是二次根式的乘法法则。
下面来看例题，检验一下大家对乘法法则的掌握程度。
第一小题，$\sqrt{3}×\sqrt{5}$。根据乘法法则，$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{3×5}=\sqrt{15}$。
第二题，$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{27}$。同样依据乘法法则，$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{27}=\sqrt{\frac{1}{3}×27}=\sqrt{9}$，这里结束了吗？没有，因为$\sqrt{9}$还能继续化简，最终结果等于3。
第三题，$\sqrt{xy}×\sqrt{\frac{1}{y}}$。利用乘法法则，它等于$\sqrt{xy×\frac{1}{y}}=\sqrt{x}$。同学们要注意，在本章，如果字母没有特别说明，都表示正数。
第四题，$6\sqrt{27}×(-2\sqrt{3})$。$6\sqrt{27}$表示$6×\sqrt{27}$，$-2\sqrt{3}$表示$-2×\sqrt{3}$。我们可以先将两个整数相乘，再将两个二次根式利用二次根式的乘法法则进行计算，即$6×(-2)×\sqrt{27×3}=-12×\sqrt{81}$，而$\sqrt{81}=9$，所以结果为$-12×9=-108$。这道题计算量较大，相信学习后续知识点，同学们会有更简便的方法。
接下来，$\sqrt{3}×\sqrt{6}$等于多少？相信学习了二次根式乘法法则，同学们能立刻得出答案：$\sqrt{18}$。老师说答案是$3\sqrt{2}$，这是为什么呢？在之前的探究活动中，我们发现$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，反过来，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$。这个等式成立同样要满足a≥0，且b≥0，这就是积的算术平方根的性质。利用这个性质，我们可以对二次根式进行化简。
来看实例化简题。
第一小题，$\sqrt{16×81}$。如果直接计算，计算量较大。仔细观察，发现16是4的平方，81是9的平方。此时，利用积的算术平方根的性质，可将式子分解为$\sqrt{16}×\sqrt{81}$，$\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}} = 4$，$\sqrt{81}=\sqrt{9^{2}} = 9$，所以结果等于$4×9 = 36$。
第二小题，$\sqrt{4a^{2}b^{3}}$。观察被开方数，它是$4$、$a^{2}$、$b^{3}$三个因式的积，其中4是2的平方，$b^{3}$可分解为$b^{2}×b$。$a^{2}$、$b^{2}$可以继续开方，所以利用性质将二次根式化为：原式$=\sqrt{4}×\sqrt{a^{2}}×\sqrt{b^{3}}$，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{a^{2}} = a$，$\sqrt{b^{3}}=\sqrt{b^{2}×b}=\sqrt{b^{2}}×\sqrt{b}=b\sqrt{b}$，最终结果等于$2ab\sqrt{b}$。
回到之前的问题，为什么$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$呢？因为18可分解为$9×2$，9恰好是3的平方。所以把$\sqrt{18}$拆成$\sqrt{9×2}$，再分解为$\sqrt{9}×\sqrt{2}$，而$\sqrt{9}=3$，式子就等于$3\sqrt{2}$。用这个方法，同学们不妨再做一下例一中的第四小题，看看是不是简便一些。
再看第三组计算。
第一小题，$\sqrt{14}×\sqrt{7}$。首先用乘法法则，原式$=\sqrt{14×7}$。这里不急着算出$14×7$，发现14可拆成$7×2$，则原式$=\sqrt{2×7^{2}}$。再利用积的算术平方根的性质，拆成$\sqrt{2}×\sqrt{7^{2}}$，最终结果等于$7\sqrt{2}$，这样计算量就减少了很多。
第二小题，$3\sqrt{5}×2\sqrt{10}$。之前的例题告诉我们，可以分别将两个整数相乘，两个二次根式相乘，原式$=3×2×\sqrt{5×10}=6\sqrt{5^{2}×2}$。这里没有直接将5和10相乘，而是把10分解成$5×2$，这样被开方数就转化成$5^{2}×2$，化简更简便。接着利用性质，分成$6\sqrt{5^{2}}×\sqrt{2}$，最终结果是$30\sqrt{2}$。
第三小题，同学们自己尝试练习。原式$=\sqrt{3x×\frac{1}{3}xy}=\sqrt{x^{2}y}$，这时还没结束，因为$x^{2}$还能继续化简，将其拆成$\sqrt{x^{2}}×\sqrt{y}$，$\sqrt{x^{2}} = x$，所以最终化简结果是$x\sqrt{y}$。
在运用二次根式乘法法则和积的算术平方根性质的过程中，同学们要不断总结方法。下面进入练习环节。
练习题第一题。
第一小题，$\sqrt{2}×\sqrt{5}$。直接利用乘法法则，等于$\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$。
第二小题，同样利用二次根式乘法法则，$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}$。细心的同学会发现，$\sqrt{36}$还没化简完，最终化简结果是6。
第三小题，$2\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{6×\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$。
第四小题，$\sqrt{288}×\sqrt{\frac{1}{72}}=\sqrt{288×\frac{1}{72}}=\sqrt{4}$，最终化简结果是2。在这些计算题中，大家要留意容易犯错的地方，及时归纳总结。