师：屏幕前的同学们，大家好！今天我们一起来学习八年级下册第17章第一节勾股定理第一课时。
我们先来回忆一下，之前学过三角形、全等三角形、等腰三角形。等腰三角形是两边相等的特殊三角形，有两底角相等、三线合一等特殊性质。我们沿着学习路线，从一般三角形出发，研究了三角形中的特例。那在三角形中，除了等腰三角形，还有什么特殊三角形呢？同学们肯定想到了直角三角形，它有一个角是直角，也有很多特殊性质。从某种程度上说，勾股定理可看作直角三角形的一个性质定理，现在就让我们一起来研究直角三角形。
首先，看章前引言部分。国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议，2002年在北京召开了第24届国际数学家大会。如图，这是大会会徽的图案，它与著名的勾股定理密切相关。同学们，你们见过这个图案吗？它由哪些基本图形组成？又有什么特别意义呢？大家仔细观察，不难发现图案中包含四个全等的直角三角形。
在中国古代，把直角三角形中较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦。据我国古代数学书《周髀算经》记载，如果勾是三、股是四，那么弦就是五。用现在的话说，就是直角三角形两条直角边的长分别是3和4，那么斜边一定是5。后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边关系定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图。赵爽利用这个图案证明了勾股定理，其证法简洁优美。在全世界400多种勾股定理的证法中，赵爽的证法独具特色。这节课，我们就沿着前人的学习之路，来探索和证明勾股定理。
相传2500年前，数学家、天文学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了正方形A、B、C面积之间的数量关系，进而发现了直角三角形三边的某种数量关系。图中三个正方形A、B、C面积有什么关系呢？我们想想如何判断。一方面，从图形组成看，组成正方形A的等腰直角三角形有两个，组成正方形B的等腰直角三角形也有两个，组成正方形C的等腰直角三角形有4个，所以正方形A、B的面积之和等于4个直角三角形面积和，也就等于正方形C的面积。另一方面，从图形构造、转化角度，我们可以把正方形A和正方形B沿着对角线剪开，重新拼接成C，也能看出正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积，可写成$S_{A}+S_{B}=S_{C}$。
那由这三个正方形A、B、C边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系呢？正方形A的边长、正方形B的边长、正方形C的边长，我们知道A的面积等于这条边的平方，B的面积等于这条边的平方，C的面积等于这条边的平方。所以根据$S_{A}+S_{B}=S_{C}$，可以判断等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
进一步思考，对于更一般的直角三角形呢？比如在网格中任意画两个直角三角形，勾三股四的直角三角形，勾二股三的直角三角形，以它们三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似关系？如图，每个小方格边长都是1，请大家分别计算出正方形$A’$、$B’$、$C’$，$A$、$B$、$C$的面积，看看能得出什么结论。
先看左边，正方形$A’$的面积等于边长的平方，即$4^{2}=16$。正方形$B’$的面积等于9。正方形$C’$的边长不是整数，不好直接计算。我们根据网格特征，将正方形$C’$对内分割成四个直角三角形和中间一个小正方形。每个直角三角形两条直角边分别是3、4，那么这四个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}\times3\times4\times4$，中间小正方形的面积等于$1^{2}$，这样能算出正方形$C’$的面积等于25。当然，我们也可以经过正方形$C’$的四个顶点，将正方形$C’$向外补成一个更大的正方形，那么正方形$C’$的面积等于大正方形的面积减去四周四个小三角形的面积之和，同样能算出$S_{C’}=25$。以此类推，$S_{A}=4$，$S_{B}=9$，正方形$C$的面积，我们对内分割计算它的面积等于13。这样得出$S_{A’}+S_{B’}=16 + 9 = 25 = S_{C’}$，$S_{A}+S_{B}=S_{C}$。
由此我们得出结论，在网格中以直角三角形三边为边长的正方形，它们的面积有类似关系。图中直角三角形三条边之间的数量关系是：两条直角边的平方和等于斜边的平方。通过前面的探究活动，大家猜一猜，对于一般的直角三角形，三边之间应该有什么关系？同学们应该能猜想出，如果直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
考虑一下，以直角三角形三边为边长的正方形，以斜边c为边长的正方形面积该如何计算？先以c为边长构造正方形，对内分割，将这个以c为边长的正方形分割成4个与原直角三角形全等的直角三角形，以及中间的一个小正方形。同学们看，这四个直角三角形两条直角边分别是b、a，那么中间小正方形的边长显然是$a - b$。这样就能算出以c为边长的正方形的面积等于$\frac{1}{2}ab\times4 + (a - b)^{2}$，展开后得到$a^{2}+b^{2}$。这种添加辅助线的方法叫对内分割。同样，我们也可以将以c为边长的正方形补成一个大正方形。大正方形边长为$a + b$，所以$c^{2}=(a + b)^{2}-\frac{1}{2}ab\times4 = a^{2}+b^{2}$。这种添加辅助线的方法叫向外补形。
下面看看赵爽是怎样证明勾股定理的。如图，先将边长分别为a、b的两个正方形连在一起，其面积为$a^{2}+b^{2}$。另一方面，这个图形可以分割成四个全等的直角三角形（图中的红色三角形）和一个正方形。把图2中左右两个三角形剪下来并恰当移动，就会形成一个以c为边长的正方形。我们将左下角的直角三角形沿这条线剪开，向右上方平移；再将右下角的直角三角形剪下来，向左上方平移，就可得到一个以c为边长的大正方形。根据图形变化过程中面积相等，得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。下面我们再来动态感受一下赵爽证明勾股定理的思路和方法。主要就是把左下角和右下角的直角三角形剪下来，经过恰当移动，重新拼接成一个以c为边长的正方形，根据面积相等得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。看这个图形，实际上就是说在这个直角三角形中，两条直角边长度分别为a、b，斜边为c，它们符合$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。