师：屏幕前的各位同学，这节课我们继续学习八年级下册第十七章第一节勾股定理第二课时。上节课我们学习了勾股定理的探索与证明，这节课主要学习利用勾股定理解决实际生活中的有关问题。首先，请同学们跟我一起回忆一下什么是勾股定理。对照图形，大家来说一说，如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2 + b2 = c2 。结合图形，我们可以这样推理：因为∠C = 90°，所以a2 + b2 = c2 。已知一个直角三角形的两边，应用勾股定理可以求出第三边，这在求距离时有重要作用。
如图，在直角三角形ABC中，已知∠BCA = 90°，BC = 6，AC = 8。第一问，AB等于多少？第二问，AB边上的高CD等于多少？我们来看，在直角三角形ABC中，已知两条直角边的长度分别为6和8，根据勾股定理，AB = √(BC2 + AC2) = √(62 + 82) = √100 = 10。对于第二问，要求CD，这实际上是求直角三角形ABC斜边上的高。根据三角形面积公式S = 底×高÷2，可得S△ABC = 1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × CD，所以AC × BC = AB × CD，那么CD = AC × BC ÷ AB = 8 × 6 ÷ 10 = 4.8。今后我们把这种利用三角形面积表达式求其中一条线段长度的方法称之为面积法。
好，接下来看第二小题，在图中要求线段CD的长，大家想一想，还能继续利用勾股定理求吗？假设BD的长为x，那么AD的长为10 - x。在直角三角形BCD中，根据勾股定理，CD2 = 62 - x2 ；同理，在直角三角形ACD中，CD2 = 82 - (10 - x)2 。由CD2的不同表达式，我们可以得出62 - x2 = 82 - (10 - x)2 。去掉括号展开，36 - x2 = 64 - 100 + 20x - x2 ，化简得到关于x的一元一次方程20x = 72，解得x = 3.6。
最后算一下CD，在直角三角形BCD中，CD = √(62 - x2) = √(62 - 3.62) 。在没有计算器的情况下，我们考虑将被开方数因式分解，利用平方差公式，把被开方数写成(6 + 3.6)×(6 - 3.6) = √(9.6 × 2.4) 。观察发现9.6 = 4 × 2.4，进一步化简得到4.8。也就是说，对于第二小题，我们利用勾股定理设BD的长度为x，根据CD是这两个直角三角形的公共边构造方程，这里体现了方程的思想。
下面我们来看勾股定理在实际生活中的应用。例，一个门框的尺寸如图所示，现有一块长3米、宽2.2米的长方形薄木板，能否从门框内通过？为什么？长方形门框宽1米，高2米。木板过门框有横着、竖着、斜着三种通过方式。考虑到木板长3米、宽2.2米，比门框的宽1米和高2米都大，所以横竖都不能通过，只能尝试斜着能否通过。
这个实际问题最终转化为：斜着通过门框时，能通过的最大尺寸是否比门框对角线AC大。连接对角线AC，若AC大于2.2米，则木板能从门框内通过；若AC小于或等于2.2米，则木板不能从门框内通过。下面写一下解题过程，连接AC，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 1米，BC = 2米。根据勾股定理，AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5，所以AC = √5 。利用计算器计算，√5约等于2.24。因为AC大于木板的宽2.2米，所以木板能够从门框内通过。
回忆这道题的解题过程，首先分析题目中的已知量和待求量，构造出直角三角形，将实际问题转化为数学问题，通过解决数学问题求出AC的长度，最后得出实际问题的解。这是解决此类实际问题的一般套路。下面看例2。
如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，这时AO为2.4米。如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？本题要求BD的长度是否等于0.5米。结合图形和已知条件，我们可以先用勾股定理分别求出OB和OD的长，再求BD。OB在Rt△AOB中，OB = √(AB2 - OA2) ；同理，OD = √(CD2 - OC2) 。显然CD是梯子下滑后的位置，CD = 2.6米，最后BD = OD - OB。
下面看解题过程。解，BD = OD - OB，这表明了求BD的方法，也暗示了解题顺序。在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2 = AB2 - OA2 = 2.62 - 2.42 = 1，所以OB = √1 = 1。在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2 = CD2 - OC2 = 2.62 - (2.4 - 0.5)2 = 3.15，所以OD = √3.15 。利用计算器计算，OD约等于1.77，最后BD = OD - OB ≈ 1.77 - 1 ≈ 0.77。所以梯子的顶端沿墙下滑0.5米时，梯子底端并不是也外移0.5米，而是外移约0.77米。
回顾这两道实际应用题，归纳一下利用勾股定理解决实际问题的一般步骤。首先要读懂题意，分析题目中已知、未知之间的关系；第二步，如果题目中没有直角三角形，要添加辅助线构造出直角三角形；第三，利用勾股定理列式计算或者列方程计算；最后根据计算结果得到实际问题的解。这个解题步骤可以用框图表示为：把实际问题转化为数学问题，即通过添加辅助线构造出直角三角形；然后根据直角三角形运用勾股定理列式或列方程计算出数学问题的解；最后根据数学问题的解，回到实际问题本身，得到实际问题的解。