师：同学们好，本节课我们要学习初中数学人教版八年级下册第十六章二次根式小结的第二课时。这节课，我们将针对本章重要知识点和常见习题做专题讲解。
首先，来看二次根式定义的应用。提到二次根式的定义，同学们应该会想到形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）。那么，二次根式的定义在习题中是如何应用的呢？
第一，这是一道化简题。我们看到根号下的被开方数是一个完全平方式，所以可以把它改写成$(y - 2)^2$。根据公式$\sqrt{a^2} = |a|$，我们能将它化成绝对值的形式。到了这一步，就要根据绝对值里面的正负情况去绝对值。同学们，这里$y - 2$的正负题目中并没有告知，所以我们要从条件入手挖掘信息。
条件中告诉我们$y > \sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + 2$，它没有直接给出$y$的取值范围，这该怎么做呢？同学们要善于挖掘隐藏条件。这里是二次根式，根据定义，被开方数应该大于等于$0$，所以$2x - 1$以及$1 - 2x$都应该大于等于$0$。同学们再观察一下这两个被开方数，发现了什么？它们是互为相反数的。互为相反数的两个数还都必须大于等于$0$，什么时候成立呢？它们必须都为$0$。正因为如此，我们可以求出$x = \frac{1}{2}$。
把$x = \frac{1}{2}$代入条件中，就有$y > 0 + 0 + 2$，即$y > 2$。正因为$y > 2$，那么$y - 2 > 0$。所以这道题我们可以将绝对值直接去掉。再看这里的分子分母也互为相反数，所以化简得$-1$，合并之后得到一个结果。同学们做完了吗？没有，因为前面我们已经求出$x = \frac{1}{2}$，把$\frac{1}{2}$代进去就能求出最终答案。
这道化简题有$\sqrt{a^2}$的结构，我们首先把它化成绝对值的形式，然后判断绝对值里面的正负情况去绝对值。在判断正负这个环节，同学们要善于挖掘题目中的隐藏条件，即被开方数大于等于$0$这个信息，从而得出$y - 2 > 0$的结论，顺利完成这道题的化简。
好，接下来看第二题，二次根式性质的应用。这里首先要介绍的是双重非负性，即$\sqrt{a} \geq 0$，$a \geq 0$。来看例$2$，如果$|a + 2| + \sqrt{b + 1} + (c - 3)^2 = 0$，那么$a + b + c$等于多少？通过观察，我们可以看到这里有绝对值、二次根式、平方，这三者是我们学过的非负数。这道题就是非负数相加得$0$的题型，什么情况呢？只有它们各自为$0$的时候，这个等式才能成立。这样我们就可以通过这个三元一次方程组求出$a$、$b$、$c$的值，再代入式子就可以求出最终结果。
这道例题的练习想告诉我们，当遇到非负数相加得$0$时，只有一种可能，就是这些数各自为$0$。接下来看这样一道变式题，$x$、$y$为实数，且满足一个等式，让求下面这个代数式的值。想要顺利求出这个代数式的值，是不是要先解出$x$和$y$？上面这个等式能帮我们解出$x$、$y$吗？我们来观察一下，是$\sqrt{1 + x} - \cdots = 0$。在前面例题中，我们学习的是非负数相加得$0$，而这里是减号，能不能把它变成加号？可以，只要将括号里面变成$y - 1$，前面就能变成加号了。
我们前面学习的是非负数相加得$0$，$\sqrt{1 + x}$肯定是非负数，那后面这个是非负数吗？对，要善于挖掘隐藏条件。既然是二次根式，那么$y - 1$这个被开方数应该大于等于$0$，相应的前面的系数$y - 1$也应该大于等于$0$。因此后面这个整体也是非负的，所以它就是非负数相加得$0$的题型，什么时候成立呢？就是它们各自为$0$，这样我们就可以顺利求出$x$、$y$，代入代数式也就可以求出代数式的值。
接下来看例$3$，当$x$为何值时，这个代数式有最小值并求出最小值。看到二次根式，我们就想到它本身大于等于$0$，正因为它大于等于$0$，于是加上$1$就大于等于$1$了。大于等于$1$说明有最小值存在，是几呢？这里的最小值就是$1$。那什么时候能取到这个最小值呢？就是被开方数$10x - 1 = 0$的时候取到，这样就可以求出$x = \frac{1}{10}$，即$x = \frac{1}{10}$时，它存在最小值，最小值是$1$。
好，接下来把这个题目稍作变形，请同学们看。问$x$为何整数时这个式子有最小整数值并求出最小值，该怎么做呢？我们前面讲过二次根式，它的被开方数应该大于或等于$0$，因此这里有$10x - 1 \geq 0$，这样就可以求出$x \geq \frac{1}{10}$。
题目问的是这个代数式的最小整数值，那就意味着这个根号要化成有理数，这样加$1$以后才有整数值，对吗？那想要把根号这个整体变成整数，就意味着被开方数应该能写成平方的形式。所以大家思考，当$x$是何值时，能够使得$10x - 1$变成平方的形式，而且是最小的平方形式。
在$x \geq \frac{1}{10}$的范围内，当$x = 1$的时候，我们发现这时的被开方数就可以看作是$3$的平方，它就可以从根号下开出去，变成有理数$3$，此时$3 + 1 = 4$，它的最小整数值就为$4$。这道变式和刚才的例题，充分挖掘了二次根式的双重非负性，利用这个特征求代数式的最值问题。
好，接下来看二次根式性质应用的第二个，即$\sqrt{a^2}$的形式。这种情况应该先化成绝对值，然后根据绝对值里面数的正负情况去绝对值。
首先看第一种情况，直接给出条件的化简问题。来看例题，这是一道化简题。被开方数是一个完全平方式，肯定先写成平方，根据公式，要化成绝对值的形式。这里绝对值该如何去掉呢？要看$x - 2$的正负情况。题目条件已经告诉大家$x < 2$，所以很容易得出$x - 2 < 0$。因此这里的绝对值去掉之后就应该写成它的相反数。接下来只需要将$x - 2$约去，就可以得出最终结果。
接下来看第二种类型，间接或隐含条件的化简问题。看例题，直接化简一个式子。通过观察，被开方数含有分母，所以需要分子分母上下同时乘以$a$，这样就可以得到平方的形式，根据公式可以将它先写成$|a|$从根号下开出来。这时绝对值又该如何去掉呢？要看$a$的正负情况。可题目中并没有告知$a$的取值范围，该怎么办呢？这就需要挖掘隐藏条件，既然是二次根式，被开方数应该大于等于$0$，那这里应该有$-\frac{1}{a} \geq 0$。还有什么隐藏条件呢？这里的$a$在分母上，要保证分式有意义，分母上的$a$不能为$0$。同时满足这两点，就可以得到$a$的范围，$a < 0$。正因为$a < 0$，所以绝对值化简出来要写成$-a$，然后将系数上的分子分母约掉，就可以得到最后答案。
好，同学们，来看下一个例题。已知$a$、$b$、$c$是三角形$ABC$三边，请化简下面这个代数式。该怎么化简呢？通过观察可以看到，这里的分子被开方数是平方的形式，根据$\sqrt{a^2} = |a|$，可以将这里的根号去掉，写成绝对值的形式。接下来只要根据绝对值里面的正负情况去绝对值就可以了。可题目中并没有告诉我们$a - b - c$以及$b - c - a$的正负情况，该怎么办呢？这就需要从条件入手，深挖条件所给的信息。
条件告诉我们$a$、$b$、$c$是三角形的三边，依据三角形三边关系可以得出绝对值里面的正负情况。同学们看，$a - b$是两边之差，三角形三边关系告诉我们两边之差小于第三边，所以$a - b < c$，通过移项可以得到$a - b - c < 0$。同理，后面$b - c$也可以看作两边之差，所以$b - c < a$，同样可以得到$b - c - a < 0$。
这时同学们会不会化简了？依据一个负数的绝对值等于它的相反数，所以这里的绝对值去掉，要写成它们各自相反数的形式。接下来只需要去括号合并就可以了，在这里提醒同学，括号前是负号，去括号的时候要注意变号。
通过观察可以将正负$a$消掉，正负$b$消掉，所以这道题可以化简得到$\frac{2c}{a + b + c}$这个答案。同学们，如果把题目再添个条件变一变，如果告知$a : b : c = 2 : 3 : 4$，能求出这个代数式的值吗？该怎么办呢？倘若依据这个条件，设$a = 2k$（记住这里$k > 0$，因为$a$、$b$、$c$是三角形的边长，肯定是正数），那么依据比值，是不是可以把$b$写成$3k$，$c$写成$4k$？接下来会做吗？可以直接把$a$、$b$、$c$的值往后面的化简结果里面带，这样通过合并就可以求出最后答案。做完了没有？当然没有，这里的$k$可以上下约去，最后答案是$\frac{8}{9}$。
有同学说，会发现这道题如果给了$a : b : c = 2 : 3 : 4$的条件时，其实不需要前面这么多化简工作，也可以直接将这里的比值代入代数式当中。来带带看，是不是可以化简到这一步？接下来依据化简$\sqrt{a^2}$写成绝对值的形式，然后去绝对值，这里绝对值怎么去呢？因为$k$是正数，所以里面肯定都为正，绝对值直接去掉，然后合并，是不是可以顺利得出最终答案？
这道题的化简依然是根号下有$a$的平方，我们先要将其化成绝对值的形式，然后再根据绝对值里的正负情况去绝对值。这里在判断绝对值里面正负的时候，发现已知条件给出的并不充分，就需要充分挖掘已知条件，从而得到需要的信息，再去化简绝对值。这道题听懂了吗？
好，接下来看第四个类型，代数式的求值。这里的代数式在前面的课有提过，它是对称式，即把$a$、$b$字母顺序调换，还是原来的式子。还记得这种式子怎么求值吗？我们是要整体代入求值。看条件当中是不是已经给出了和积的形式。所以首先要把代数式化简，让它含有和积的形式，然后再进行整体代入。
先来化简这个代数式。这个代数式被开方数含有分母，所以想法是分子分母第一个首先同时乘以$a$，第二个被开方数的分子分母同时乘以$b$，这样分母就凑出了平方的形式，可以将这个平方从根号下开出去，当然要写成绝对值的形式。这里提醒同学注意，它们在被开方数下是在分母上，所以开出去应该也在系数的分母上。接下来就要考虑这里的绝对值该如何去掉了。
$a$和$b$，题目中并没有告诉它们的正负情况，该怎么办呢？难道要利用$a + b$，$a \times b$算出$a$、$b$具体的值吗？当然不是。观察$a \times b = 8$是正数，说明什么？说明$a$、$b$同号，但这时只能说要么同正，要么同负两种可能。再来看$a + b = -8$，这就可以肯定$a$、$b$一定是同负，所以$a < 0$，$b < 0$。正因为如此，把绝对值去掉，可以写成这样的形式。
接下来将它们的系数合并，做完了吗？当然没有，这里再通分就得到这一步。对于$a^2 + b^2$，相信同学们比较熟悉，肯定要利用完全平方公式进行变形。条件当中给出的是$a + b$，$a \times b$，所以变形就变成$(a + b)^2 - 2ab$，这个时候再选择将两数和两数积整体代入，就能很快求出最终答案。
同样下面这道题依然是一个对称式，按照前面的思路，是不是应该整体代入？所以会利用$a$和$b$的值去求它们的和，这里异分母分数相加，通分，其实这里的分母就是平方差公式，所以最终答案是$-2$，很简单。
再来看两者的积，得到的结果也很简单，所以这种题目一定是整体代入。接下来需要将代数式进行变形，因为前面求得的是和积，所以对于$a^2 + b^2$，就要给它变形成$(a + b)^2 - 2ab$。这时再选择整体代入，就能很顺利地求出最终答案。
所以对于这个代数式的求值，希望同学们注意，它的精髓是整体代入，一般都是将代数式运用完全平方公式变形，让它变成含两数和、两数积或两数差的形式，选择整体代入，这样运算会得以简化。
再来看第五个，二次根式比较大小，同学们应该不陌生，比如$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$去比较，有两种方式，一是看它们的被开方数直接比较大小，当然有的题目还可以将它们同时平方变成有理数后再比较大小。
今天要讲比较复杂式子的比较大小，这道题打算怎么办？通过观察发现$5 + 11 = 16$，$6 + 10$也等于$16$，所以这里选择求整体的平方再比较大小，这有什么好处呢？来看，这两个都是正数，给它们求平方，发现$5 + 11$、$6 + 10$都得到$16$了，所以这两部分是一样的，想要比较它们的大小，只要看看后面二次根式就可以了。很显然$55 < 60$，所以$2\sqrt{55} < 2\sqrt{60}$，这样是不是可以得到前面的平方小于后面的平方？因为是正数，所以前面就小于后面。
接下来看第二题，发现$13 - 12 = 14 - 13 = 1$是相等的，这时该怎么办？这里是整体求倒数再比较大小，求导得到的结果是这个，发现什么？这里的$\sqrt{13}$两式都含有，所以只要比较$\sqrt{12}$和$\sqrt{14}$的大小就可以了。于是$\sqrt{12} < \sqrt{14}$，那么加上$\sqrt{13}$，前者依然小于后者，也就意味着前面的倒数小于后面的倒数。但同学们要注意，要求的是它本身，所以还要还原，那肯定是前者大于后者。
好，今天的课讲到这里，回顾一下都学习了哪些内容。首先复习了二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）就是二次根式。第二，复习了二次根式的双重非负性，即被开方数和二次根式本身都应该大于等于$0$。第三，复习了二次根式的这个公式，它往往运用于二次根式的化简题型当中。接下来还复习了代数式的求值，对于对称式往往是整体代入求值。最后还帮大家复习了二次根式比较大小。
好，今天的课就讲到这里，同学们再见。